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[算法]平衡二叉树详解 通俗易懂

平衡二叉树（AVL）

阅读之前请先了解 二叉搜索树


平衡二叉树定义：任意节点的子树的高度差都小于等于 1

1. 为什么使用「平衡二叉树」

二叉树能提高查询的效率 O(logn)，但是当你插入 {1,2,3,4,5,6} 这种数据的时候，你的二叉树就像一个「链表」一样，搜索效率变为 O(n)

于是在 1962 年，一个姓 AV 的大佬（G. M. Adelson-Velsky） 和一个姓 L 的大佬（ Evgenii Landis）提出「平衡二叉树」（AVL） 。

于是插入 {1,2,3,4,5,6} 这种数据结果如下图所示：

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2. 判断「平衡二叉树」


判断「平衡二叉树」的 2 个条件：

  • 1. 是「二叉排序树」

  • 2. 任何一个节点的左子树或者右子树都是「平衡二叉树」（左右高度差小于等于 1）

（1）下图不是「平衡二叉树」因为它不是「二叉排序树」违反第 1 条件

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（2）下图不是「平衡二叉树」因为有节点子树高度差大于 1 违法第 2 条件

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（3）下图是「平衡二叉树」因为符合 1、2 条件

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3. 相关概念

3.1 平衡因子 BF

定义：左子树和右子树高度差

计算：左子树高度 - 右子树高度的值

别名：简称 BF（Balance Factor 而不是 Boy Friend）

一般来说 BF 的绝对值大于 1，,平衡树二叉树就失衡，需要「旋转」纠正

3.2 最小不平衡子树

距离插入节点最近的，并且 BF 的绝对值大于 1 的节点为根节点的子树。

「旋转」纠正只需要纠正「最小不平衡子树」即可

例子如下图所示：

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4. 二种旋转方式

2 种「旋转」方式：

  1. 左旋

    • 旧根节点为新根节点的左子树

    • 新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

  2. 右旋：

    • 旧根节点为新根节点的右子树

    • 新根节点的右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

4 种「旋转」纠正类型：

  1. LL 型：插入左孩子的左子树，右旋

  2. RR 型：插入右孩子的右子树，左旋

  3. LR 型：插入左孩子的右子树，先左旋，再右旋

  4. RL 型：插入右孩子的左子树，先右旋，再左旋

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4.1 LL 型失衡「右旋」

第三个节点「1」插入的 时候，BF(3) = 2，BF(2) = 1 LL 型失衡，右旋，根节点顺时针旋转

（1）最小不平衡子树「右旋」

右旋

  • 旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树

  • 新根节点的 右子树（如果存在）为旧根节点的左子树


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4.2 RR 型失衡「左旋」

第三个节点「3」插入的 时候，BF(1)=-2 BF(2)=-1，RR 型失衡，左旋，根节点逆时针旋转

（1）最小不平衡子树左旋

左旋

  • 旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树

  • 新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

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4.3 LR 型

第三个节点「3」插入的 时候，BF(3)=2 BF(1)=-1 LR 型失衡，先「左旋」再「右旋」


（1）最小不平衡子树左子树 {2,1} 先左旋

左旋

  • 旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树

  • 新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

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（2）最小不平衡子树 {3,2,1} 再右旋

右旋

  • 旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树

  • 新根节点的 右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

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4.4 RL 型

第三个节点「1」插入的 时候，BF(1)=-2 BF(3)=1 RL 型失衡，先「右旋」再「左旋」

（1）最小不平衡子树根节点右子树{3,2}先右旋

右旋

  • 旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树

  • 新根节点的 右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

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（2）最小不平衡子树 {1,2,3} 再左旋（L）

左旋

  • 旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树

  • 新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

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5. 实例

接下来我们以 {3,2,1,4,5,6,7,10,9,8} 为实例练习刚刚的 4 种插入方式

（1）依次插入 3、2、1 插入第三个点 1 的时候 BF(3)=2 BF(2)=1，LL 型失衡。

对最小不平衡树 {3,2,1}进行「右旋」

右旋：

  • 旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树

  • 新根节点（节点 2）的右子树（这里没有右子树）为旧根节点的左子树

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（2）依次插入 4 ，5 插入 5 点的时候 BF(3) = -2 BF(4)=-1，RR 型失衡

对最小不平衡树 {3,4,5} 进行「左旋」

左旋：

  • 旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 4）的左子树

  • 新根节点（节点 4）的左子树（这里没有左子树）为旧根节点的右子树

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（3）插入 4 ，5 插入 5 点的时候 BF(2)=-2 BF(4)=-1 ，RR 型失衡 对最小不平衡树进行「左旋」

左旋：

  • 旧根节点（节点 2）为新根节点（节点 4）的左子树

  • 新根节点（节点 4）的 左子树（节点 3）为旧根节点的右子树

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新根节点（节点 4）的左子树（节点 3）为旧根节点的右子树

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（4）插入 7 节点的时候 BF(5)=-2, BF(6)=-1 ，RR 型失衡，对最小不平衡树 进行「左旋」

左旋：

  • 旧根节点（节点 5）为新根节点（节点 6）的左子树

  • 新根节点的左子树（这里没有）为旧根节点的右子树

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（5）依次插入 10 ，9 。插入 9 点的时候 BF(10) = 1，BF(7) = -2 ，RL 型失衡，对先「右旋」再「左旋」

右子树先「右旋」

最小不平衡子树的右子树 {10,9} 先右旋：

  • 旧根节点（节点 10）为新根节点（节点 9）的右子树

  • 新根节点（节点 9）的右子树（这里没有右子树）为旧根节点的左子树

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最小不平衡子树再左旋：

  • 旧根节点（节点 7）为新根节点（节点 9）的左子树

  • 新根节点（节点 9）的左子树（这里没有左子树）为旧根节点的右子树

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（6）最后插入节点 8 ，BF(6)=-2 BF(9)=1，RL 型失衡，先「右旋」再「左旋」

最小不平衡子树的右子树 {9,7,10,8} 先「右旋」

右旋：

  • 旧根节点（节点 9 {9,10}）为新根节点（节点 7）的右子树

  • 新根节点（节点 7）的右子树（这里是 节点 8）为旧根节点（节点 9）的左子树


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最小不平衡子树 {6,5,7,9,8,10} 再「左旋」

左旋：

  • 旧根节点（节点 6 {6,5} ）为新根节点（节点 7）的左子树

  • 新根节点的左子树（这里没有）为旧根节点的右子树


左旋结束

程序结束

6.代码实现

6.1 定义节点

public class AVLNode {
    /** 数据 **/
    public int data;
    /** 相对高度 **/
    public int height;
    /** 父节点 **/
    public AVLNode parent;
    /** 左子树 **/
    public AVLNode left;
    /** 右子树 **/
    public AVLNode right;
    public AVLNode(int data) {
        this.data = data;
        this.height = 1;
    }
}

6.2 计算高度

节点高度等于左子树和右子树最大高度 + 1

/** 通过子树高度 计算高度 **/
private int calcHeight(AVLNode root) {
    if (root.left == null && root.right == null) {
        return 1;
    }
    else if (root.right == null) {
        return root.left.height + 1;
    } else if (root.left == null) {
        return root.right.height + 1;
    }else {
        return root.left.height > root.right.height ? root.left.height + 1 : root.right.height + 1;
    }
}

6.3 计算 BF

BF（平衡因子）的值为：左子树高度 - 右子树高度

private int calcBF(AVLNode root) {
    if (root == null){
        return 0;
    }
    else if (root.left == null && root.right == null) {
        return 0;
    }
    else if (root.right == null) {
        return root.left.height ;
    } else if (root.left == null) {
        return - root.right.height;
    }else {
        return root.left.height - root.right.height;
    }
}

6.4 旋转

2 种「旋转」方式：

  1. 左旋

    • 旧根节点为新根节点的左子树

    • 新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

  2. 右旋：

    • 旧根节点为新根节点的右子树

    • 新根节点的右子树（如果存在）为旧根节点的左子树


重点理解：旋转之后通过需要刷新高度

高度变化只有：oldRoot 和 newRoot

但是它们子树的高度是不变的（这很关键）

我们可以通过它们 子树的高度计算他们的高度

使用不变的因数计算变化的因素是一个很好的思维


public AVLNode leftRotate(AVLNode root) {
    AVLNode oldRoot = root;
    AVLNode newRoot = root.right;
    AVLNode parent = root.parent;
    //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
    if (null != parent ) {
        if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
            parent.left = newRoot;
        }else  {
            parent.right = newRoot;
        }
    }
    newRoot.parent = parent;
    //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的左子树 给 oldRoot 的右子树)
    oldRoot.right = newRoot.left;
    if (newRoot.left != null) {
        newRoot.left.parent = oldRoot;
    }
    //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
    newRoot.left = oldRoot;
    oldRoot.parent = newRoot;
    //刷新高度
    oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
    newRoot.height = calcHeight(newRoot);
    return newRoot;
}


public AVLNode rightRotate(AVLNode root) {
    AVLNode oldRoot = root;
    AVLNode newRoot = root.left;
    AVLNode parent = root.parent;
    //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
    if (null != parent ) {
        if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
            parent.left = newRoot;
        }else {
            parent.right = newRoot;
        }
    }
    newRoot.parent = parent;
    //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的右子树 给 oldRoot 的左子树)
    oldRoot.left = newRoot.right;
    if (newRoot.right != null) {
        newRoot.right.parent = oldRoot;
    }
    //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
    newRoot.right = oldRoot;
    oldRoot.parent = newRoot;
    //刷新高度
    oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
    newRoot.height = calcHeight(newRoot);
    return newRoot;
}


6.5 插入（总代码）

插入操作

  • 递归插入新节点

  • 刷新高度

  • 旋转并再次刷新高度

public class ALVTree {
    AVLNode root;
    public void insert(int data) {
        if (null == this.root) {
            this.root = new AVLNode(data);
            return;
        }
        this.root = insert(this.root, data);
    }
    public AVLNode insert(AVLNode root, int data) {
        //插入左子树
        if (data < root.data) {
            if (null == root.left) {
                root.left = new AVLNode(data);
                root.left.parent = root;
            }else {
                insert(root.left,data);
            }
        }
        //插入右子树
        else if (data > root.data) {
            if (null == root.right) {
                root.right = new AVLNode(data);
                root.right.parent = root;
            } else {
                insert(root.right,data);
            }
        }
        //刷新高度
        root.height = calcHeight(root);
        //旋转
        //1. LL 型 右旋转
        if (calcBF(root) == 2){
            //2. LR 型 先左旋转
            if (calcBF(root.left) == -1) {
                root.left = leftRotate(root.left);
            }
            root = rightRotate(root);
        }
        //3. RR型 左旋转
        if (calcBF(root) == -2){
            //4. RL 型 先右旋转
            if (calcBF(root.right)== 1) {
                root.right = rightRotate(root.right);
            }
            root = leftRotate(root);
        }

        return root;
    }
    public AVLNode leftRotate(AVLNode root) {
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.right;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent ) {
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
                parent.left = newRoot;
            }else  {
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的左子树 给 oldRoot 的右子树)
        oldRoot.right = newRoot.left;
        if (newRoot.left != null) {
            newRoot.left.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.left = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }


    public AVLNode rightRotate(AVLNode root) {
        AVLNode oldRoot = root;
        AVLNode newRoot = root.left;
        AVLNode parent = root.parent;
        //1.newRoot 替换 oldRoot 位置
        if (null != parent ) {
            if (oldRoot.parent.data > oldRoot.data) {
                parent.left = newRoot;
            }else {
                parent.right = newRoot;
            }
        }
        newRoot.parent = parent;
        //2.重新组装 oldRoot (将 newRoot 的右子树 给 oldRoot 的左子树)
        oldRoot.left = newRoot.right;
        if (newRoot.right != null) {
            newRoot.right.parent = oldRoot;
        }
        //3. oldRoot 为 newRoot 的左子树
        newRoot.right = oldRoot;
        oldRoot.parent = newRoot;
        //刷新高度
        oldRoot.height = calcHeight(oldRoot);
        newRoot.height = calcHeight(newRoot);
        return newRoot;
    }
    /** 通过子树高度 计算高度 **/
    private int calcHeight(AVLNode root) {
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        else if (root.right == null) {
            return root.left.height + 1;
        } else if (root.left == null) {
            return root.right.height + 1;
        }else {
            return root.left.height > root.right.height ? root.left.height + 1 : root.right.height + 1;
        }
    }
    private int calcBF(AVLNode root) {
        if (root == null){
            return 0;
        }
        else if (root.left == null && root.right == null) {
            return 0;
        }
        else if (root.right == null) {
            return root.left.height ;
        } else if (root.left == null) {
            return - root.right.height;
        }else {
            return root.left.height - root.right.height;
        }
    }
}

测试

public static void main(String[] args) {
    ALVTree tree = new ALVTree();
    tree.insert(3);
    tree.insert(2);
    tree.insert(1);
    tree.insert(4);
    tree.insert(5);
    tree.insert(6);
    tree.insert(7);
    tree.insert(10);
    tree.insert(9);
    tree.insert(8);
    //遍历输出
    innerTraverse(tree.root);
}
private static void innerTraverse(AVLNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    innerTraverse(root.left);
    System.out.println(root.data + " height:"+root.height);
    innerTraverse(root.right);
}

输出

1 height:1
2 height:2
3 height:1
4 height:4
5 height:1
6 height:2
7 height:3
8 height:1
9 height:2
10 height:1


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