你的衣服我扒了 - 《最长公共子序列》
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❝这是力扣加加第「8」篇原创文章
❞
之前出了一篇穿上衣服我就不认识你了？来聊聊最长上升子序列，收到了大家的一致好评。今天给大家带来的依然是换皮题 - 最长公共子序列系列。
最长公共子序列是一个很经典的算法题。有的会直接让你求最长上升子序列，有的则会换个说法，但最终考察的还是最长公共子序列。那么问题来了，它穿上衣服你还看得出来是么？
如果你完全看不出来了，说明抽象思维还不到火候。经常看我的题解的同学应该会知道，我经常强调抽象思维。没有抽象思维，所有的题目对你来说都是新题。你无法将之前做题的经验迁移到这道题，那你做的题意义何在？
虽然抽象思维很难练成，但是幸好算法套路是有限的，经常考察的题型更是有限的。从这些入手，或许可以让你轻松一些。本文就从一个经典到不行的题型《最长公共子序列》，来帮你进一步理解抽象思维。
❝注意。本文是帮助你识别套路，从横向上理清解题的思维框架，并没有采用最优解，所有的题目给的解法可能不是最优的，但是都可以通过所有的测试用例。如果你想看最优解，可以直接去讨论区看。或者期待我的
❞深入剖析系列。
718. 最长重复子数组
题目地址
https://leetcode-cn.com/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/
题目描述
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
示例 1:
输入:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出: 3
解释:
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1]。
说明:
1 <= len(A), len(B) <= 1000
0 <= A[i], B[i] < 100
前置知识
-
哈希表 -
数组 -
二分查找 -
动态规划
思路
这就是最经典的最长公共子序列问题。一般这种求解「两个数组或者字符串求最大或者最小」的题目都可以考虑动态规划，并且通常都定义 dp[i][j] 为 以 A[i], B[j] 结尾的 xxx。这道题就是：以 A[i], B[j] 结尾的两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
❝关于状态转移方程的选择可以参考： 穿上衣服我就不认识你了？来聊聊最长上升子序列
❞
算法很简单：
-
双层循环找出所有的 i, j 组合，时间复杂度 ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。 -
如果 A[i] == B[j]，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 -
否则，dp[i][j] = 0 -
循环过程记录最大值即可。
「记住这个状态转移方程，后面我们还会频繁用到。」
关键点解析
-
dp 建模套路
代码
代码支持：Python
Python Code:
class Solution:
def findLength(self, A, B):
m, n = len(A), len(B)
ans = 0
dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if A[i - 1] == B[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
ans = max(ans, dp[i][j])
return ans
「复杂度分析」
-
时间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。 -
空间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。
❝二分查找也是可以的，不过并不容易想到，大家可以试试。
❞
1143.最长公共子序列
题目地址
https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence
题目描述
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例 1:
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。示例 2:
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。示例 3:
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
提示:
1 <= text1.length <= 1000 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。
前置知识
-
数组 -
动态规划
思路
和上面的题目类似，只不过数组变成了字符串（这个无所谓），子数组（连续）变成了子序列 （非连续）。
算法只需要一点小的微调： 如果 A[i] != B[j]，那么 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
关键点解析
-
dp 建模套路
代码
❝你看代码多像
❞
代码支持：Python
Python Code:
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, A: str, B: str) -> int:
m, n = len(A), len(B)
ans = 0
dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if A[i - 1] == B[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
ans = max(ans, dp[i][j])
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
return ans
「复杂度分析」
-
时间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。 -
空间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。
1035. 不相交的线
题目地址
https://leetcode-cn.com/problems/uncrossed-lines/description/
题目描述
我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：A = [1,4,2], B = [1,2,4] 输出：2 解释：我们可以画出两条不交叉的线，如上图所示。我们无法画出第三条不相交的直线，因为从 A[1]=4 到 B[2]=4 的直线将与从 A[2]=2 到 B[1]=2 的直线相交。示例 2：
输入：A = [2,5,1,2,5], B = [10,5,2,1,5,2] 输出：3 示例 3：
输入：A = [1,3,7,1,7,5], B = [1,9,2,5,1] 输出：2
提示：
1 <= A.length <= 500 1 <= B.length <= 500 1 <= A[i], B[i] <= 2000
前置知识
-
数组 -
动态规划
思路
从图中可以看出，如果想要不相交，则必然相对位置要一致，换句话说就是：「公共子序列」。因此和上面的 1143.最长公共子序列 一样，属于换皮题，代码也是一模一样。
关键点解析
-
dp 建模套路
代码
❝你看代码多像
❞
代码支持：Python
Python Code:
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, A: str, B: str) -> int:
m, n = len(A), len(B)
ans = 0
dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if A[i - 1] == B[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
ans = max(ans, dp[i][j])
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
return ans
「复杂度分析」
-
时间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。 -
空间复杂度： ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 的 长度。
总结
第一道是“子串”题型，第二和第三则是“子序列”。不管是“子串”还是“子序列”，状态定义都是一样的，不同的只是一点小细节。
❝点关注，不迷路。如果再给 ➕ 个星标就更棒啦！
❞
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