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1.不同的二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树是一种节点值之间具有一定数量级次序的二叉树，对于树中每个节点：

• 若其左子树存在，则其左子树中每个节点的值都不大于该节点值；

• 若其右子树存在，则其右子树中每个节点的值都不小于该节点值。

定义状态

定义两个函数：

G(n):从1到n的连续整数形成的序列，组成不同的二叉搜索树的个数

F[i,n],以i为root节点，从1到n的连续整数形成的序列，组成不同的二叉搜索树的个数 ,其中1<=i<=n

转移方程

G(n)可以选其中的某一个i作为根节点的所有情况的和，即G(n)=sum(F[i,n]),其中1<=i<=n

F[i,n]可以通过左右部分各自数量的乘积而得，如下图，可以得到F[i,n]=G(i-1)*G(n-i),注意G函数的定义，再次参见上面的定义

有了上面的结论，G(n)=sum(F[i,n]),其中1<=i<=n就容易求得了

G(n)=F[1,n]+F[2,n]+…+F[i,n]+…+F[n-1,n]+F[n,n]

等价于

G(n)=G(1)XG(n-1)+G(2)XG(n-2)+…+G(i)XG(n-i)+…+G(n-1)XG(0)

边界

G(0):表示一个元素都没有形成的二叉搜索树，只有一种情况，令其为1

G(1):表示只有个元素形成的二叉搜索树，只有一种情况，令其为1

完整代码

  public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N), 一次遍历即可，N为整数的大小

• 空间复杂度：O(N), 数组dp的大小

总结

很多牛叉的算法大多借助了一些辅助函数，如KMP算法中的next数组，本题也是如此，定义G(n)和F[i,n],让问题很容易得到描述和分解

2.不同的二叉搜索树II

定义函数

helper(start,end) 表示从区间[start...end]之间形成的二叉搜索树的列表

每次从[start...end]选择一个数，为curr节点，作为根节点，并递归生成左右两部分

• 左半部分，从[start…i-1],生成所有可能的二叉搜索树列表

• 右半部分，从[i+1…end]生成所有可能的二叉搜索树列表

• 将左右部分组合到根节点的左右两侧并将结果收集到result列表，组合数可以参见上面一题的结果，就是size(leftPart)Xsize(rightPart)

出口

当start>ends时，说明遇到了[]或者一个节点的的情况，添加null，后续追加到其所在的根节点

   public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
        if (n == 0) return new ArrayList<>();
        return helper(1, n);

    }
    private List<TreeNode> helper(int start, int end) {
        List<TreeNode> result = new ArrayList<>();
        if (start > end) {
            result.add(null);
            return result;
        }
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            List<TreeNode> leftPart = helper(start, i - 1);
            List<TreeNode> rightPart = helper(i + 1, end);
            for (TreeNode left : leftPart) {
                for (TreeNode right : rightPart) {
                    TreeNode curr = new TreeNode(i);
                    curr.left = left;
                    curr.right = right;
                    result.add(curr);
                }
            }
        }
//        System.out.println(JSON.toJSONString(result));
        return result;
    }

• 动态规划做法TODO