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一.引例

一般的学生成绩评定分为五个等级：优秀、良好、中等、及格、不及格，常见的代码描述如下：

可以把上面的代码流程画成下面的树状流程图

由于大部分学生成绩都是出于70到90之间，所以按照上面的流程大部分人都需要至少三次判断。因此我们可以对评价流程做出一点优化，如下所示：

通过先与80分做对比，使得大部分人(分数处于70-90之间)只需要两次判断。

如何能设计出这种效率最高的树结构？答案就是哈夫曼树。

二.哈夫曼树

首先理解几个概念

1. 权：树中结点相关的数值；

2. 森林：m棵互不相交的树的集合；

3. 路径长度：从树中某个结点到另一个结点之间的分支数目（经过的边数）；

4. 带权路径长度：从树的根结点到任意结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积称为该结点的带权路径长度。

树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，称为WPL(Weighted Path Length)，且

其中Wi是第i个叶结点所带的权值,Ii是该叶结点到根结点的路径长度

比如下面图a、图b、图c分别是三个构造好的不同形态的树，数值代表字母a、b、c、d出现的频率

可以计算出

WPL(左)=7*2+5*2+2*2+4*2=36

WPL(中)=4*2+7*3+5*3+2*1=46

WPL(右)=7*1+5*2+2*3+4*3=35

哈夫曼树：含有N个带权叶子结点的二叉树中，WPL最小的二叉树，也称为最优二叉树。

哈夫曼树构造过程(哈夫曼算法)：

1. 将N个结点分别作为N棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。

2. 构造一个新结点，并从F中选取两棵结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且将新结点的权值设置为左右子树结点的权值之和；

3. 从F中删除刚才选择的两棵树，同时将新得到的树加入F中；

4. 重复步骤2和3，直到F中只剩下一棵树为止。

举个例子：

对下图中的六个带权叶子结点来构造一棵哈夫曼树，步骤如下

哈夫曼树的特点：

1. 每个初始结点最终成为叶结点，且权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。

2. 构造过程中一共新建了N-1个结点，加上之前的N个结点，因此哈夫曼树中的结点总数为2N-1。

整体来说，哈弗曼算法属于贪心算法的一种，其基本思路是：编码以字符出现的频率作为权重，每次选权重最小的两个节点作为生成最优二叉树的左右孩子，并将权重之和作为根节点的权重（概率），自底向上生成一颗带权路径长度最短的最优二叉树。

三.哈夫曼编码

哈夫曼编码最早用于解决远距离电报通信的数据传输最优化问题

比如ABCDE这一段文字，通过网络传输要用到二进制的数字0和1。按照下面的方式保存ABCDE五个字母就可以了。

但是如果信息很长，那么译码也会很长

例如 AABBCCDDEE...

对应 000 000 001 001 010 010 011 011 100 100...

实际上，不同的字符和字母出现的频率是不一样的，比如英语中的元音字母 A、E、I、O、U和汉字中的“有”、“是”、“在”...相对来说出现频率更高，所以我们可以借助这些特点和哈夫曼算法对信息进行编码。

举例来说：

假设字母出现的频率为A：20，B:10，C:30，D:25，E:15，则对应的哈夫曼编码可以按照步骤得出：

1. 首先构造哈夫曼树

2. 将权值左分支改为0，右分支改为1

3. 每个字母的哈夫曼编码为从根结点走到相应叶子结点

哈夫曼编码的优点

首先我们要知道三个概念

1. 等长编码

例如 AABBCCDDEE...

对应 000 000 001 001 010 010 011 011 100 100...

2.前缀编码

如果没有一个编码是另一个编码的前缀。

例如 A：0、B：101、C：100

就是一个前缀编码

3.非前缀编码

存在一个编码是另一个编码的前缀。

例如 A：10、B：101、C：110

就是一个非前缀编码

非前缀编码会造成翻译时的歧义

比如10110可以翻译成两个结果：

(1) 10 110  AC

(2) 101 10  BA

而哈夫曼编码是一种变长且前缀编码，对于同样的ABCDE进行编码，哈夫曼编码和等长编码结果如下：

等长编码一共有15位，哈夫曼编码一共有12位，节省约20%的空间成本，当信息内容很多时，哈夫曼编码的优势会更明显。

四.哈夫曼算法伪代码

算法：Huffman（C）
输入：C={x1,x2,...，xn}，f(xi),i=1,2,3..n
输出：Q # 队列
  1.n <—— |C|
  2.Q <—— C # 频率递增队列Q
  3.for i <—— 1 to n-1 do
  4.    z <—— Allocate-None() # 生成结点z
  5.    z.left <—— Q中最小元 # 最小作z左结点
  6.    z.right <—— Q中最小元 # 最小作Z右结点
  7.    f(z) <—— f(x)+f(y)
  8.    Insert(Q,z) # 将z插入Q
  9.return Q

END

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