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树的深度优先搜索(上)

Alleria Windrunner 2020-07-07
还记得我们说迭代法的具体应用中的二分法吗?我们讨论了一个查字典的例子。如果要使用二分查找,我们首先要把整个字典排个序,然后每次都通过二分的方法来缩小搜索范围。
不过在平时的生活中,咱们查字典并不是这么做的。我们都是从单词的最左边的字母开始,逐个去查找。比如查找“boy”这个单词,我们一般是这么查的。首先,在 a~z 这 26 个英文字母里找到单词的第一个字母 b,然后在 b 开头的单词里找到字母 o,最终在 bo 开头的单词里找到字母 y。
你可以看我画的这种树状图,其实就是从树顶层的根结点一直遍历到最下层的叶子结点,最终逐步构成单词字典的过程。对应的数据结构就是字典树(prefix tree),或者叫字典树(trie)。

那字典树究竟该如何构建呢?有了字典树,我们又该如何查询呢?本篇,我们从图论的基本概念出发,来给你讲一下什么样的结构是树,以及如何通过树的深度优先搜索,来实现字典树树的构建和查询。

图论的一些基本概念

字典树是一种有向树。那什么是有向树?顾名思义,有向树就是一种树,特殊的就是,它的边是有方向的。而树是没有简单回路的连通图。

如果一个图里所有的边都是有向边,那么这个图就是有向图。如果一个图里所有的边都是无向边,那么这个图就是无向图。既含有向边,又含无向边的图,称为混合图。

树的深度优先搜索(上)

在有向图中,以结点 v 为出发点的边的数量,我们叫作 v 的出度。而以 v为 终点的边之数量,称为 v 的入度。在上图中,结点 v2 的入度是 1,出度是 2。

还有两个和有向树有关的概念,回路和连通,我这里简单给你解释一下,你很容易就能明白了。

结点和边的交替序列组成的就是通路。所以,通路上的任意两个结点其实就是互为连通的。如果一条通路的起始点 v1 和终止点 vn 相同,这种特殊的通路我们就叫作回路。从起始点到终止点所经过的边之数量,就是通路的长度。示意图如下,这里面有 1 条通路和 1 条回路,第一条非回路通路的长度是 3,第二条回路的长度是 4。

树的深度优先搜索(上)

理解了图的基本概念,我们再来看树和有向树。树是一种特殊的图,它是没有简单回路的连通无向图。这里的简单回路,其实就是指,除了第一个结点和最后一个结点相同外,其余结点不重复出现的回路。

那么,什么是有向树呢?顾名思义,有向树是一种特殊的树,其中的边都是有向的,而且它满足以下几个条件:

  • 有且仅有一个结点的入度为 0,这个结点被称为根;
  • 除根以外的所有结点,入度都为 1。从树根到任一结点有且仅有一条有向通路。

除了这些基本定义,有向树还有几个重要的概念,父结点、子结点、兄弟结点、先辈结点、后辈结点、叶子结点、结点的高度(或深度)、树的高度(或深度)。

树的深度优先搜索(上)


字典树的构建和查询

好了,说了这么些,你对有向树应该有了理解。接下来,我们来看,如何使用有向树来实现字典树呢?这整个过程主要包括两个部分:构建字典树和查询字典树。


构建字典树

首先,我们把空字符串作为树的根。对于每个单词,其中每一个字符都代表了有向树的一个结点。而前一个字符就是后一个字符的父结点,后一个字符是前一个字符的子结点。这也意味着,每增加一个字符,其实就是在当前字符结点下面增加一个子结点,相应地,树的高度也增加了 1。

我们以单词 eleven 为例,从根结点开始,第一次我增加字符 e,在根结点下增加一个“e”的结点。第二次,我在“e”结点下方增加一个“l”结点。以此类推,最终我们可以得到下面的树。


查询字典树

假设我们已经使用牛津词典,构建完了一个完整的字典树,现在我们就能按照开篇所说的那种方式,查找任何一个单词了。从字典树的根开始,查找下一个结点,顺着这个通路走下去,一直走到到某个结点。如果这个结点及其字典代表了一个存在的单词,而待查找的单词和这个结点及其字典正好完全匹配,那就说明成功找到了一个单词。否则,就表示无法找到。

这里还有几种特殊情况,需要注意。

  • 如果还没到叶子结点的时候,待查的单词就结束了。这个时候要看最后匹配上的非叶子结点是否代表一个单词;如果不是,那说明被查单词并不在字典中。
  • 如果搜索到字典树的叶子结点,但是被查单词仍有未处理的字母。由于叶子结点没有子结点,这时候,被查单词不可能在字典中。
    如果搜索到一半,还没到达叶子结点,被查单词也有尚未处理的字母,但是当前被处理的字母已经无法和结点上的字符匹配了。这时候,被查单词不可能在字典中。


字典树的构建和查询这两者在本质上其实字典是一致的。构建的时候,我们需要根据当前的字典进行查询,然后才能找到合适的位置插入新的结点。而且,这两者都存在一个不断重复迭代的查找过程,我们把这种方式称为深度优先搜索(Depth First Search)。

所谓树的深度优先搜索,其实就是从树中的某个结点出发,沿着和这个结点相连的边向前走,找到下一个结点,然后以这种方式不断地发现新的结点和边,一直搜索下去,直到访问了所有和出发点连通的点、或者满足某个条件后停止。

如果到了某个点,发现和这个点直接相连的所有点都已经被访问过,那么就回退到在这个点的父结点,继续查看是否有新的点可以访问;如果没有就继续回退,一直到出发点。由于单棵树中所有的结点都是连通的,所以通过深度优先的策略可以遍历树中所有的结点,因此也被称为深度优先遍历。

其中,结点上的数字表示结点的 ID,而虚线表示遍历前进的方向,结点边上的数字表示该结点在深度优先搜索中被访问的顺序。在深度优先的策略下,我们从点 110 出发,然后发现和 110 相连的点 123,访问 123 后继续发现和 12字典3 相连的点 162,再往后发现 162 没有出度,因此回退到 123,查看和 123 相连的另一个点 587,根据 587 的出度继续往前推进,如此类推。

把深度优先搜索,和在字典树中查询单词的过程对比一下,你就会发现两者的逻辑是一致的。不过,使用字典树匹配某个单词的时候,只需要沿着一条可能的通路搜索下去,而无需遍历树中所有的结点。

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