数据结构与算法

不管是数据结构还是算法思维，它们的目标都是降低时间复杂度。数据结构是从数据组织形式的角度达成这个目标，而算法思维则是从数据处理的思路上去达成这个目标。

递归

在数学与计算机科学中，递归 （Recursion)）是指在函数的定义中使用函数自身的方法，直观上来看，就是某个函数自己调用自己。

递归有两层含义：

1. 递归问题必须可以分解为若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题。并且这些子问题可以用完全相同的解题思路来解决；
2. 递归问题的演化过程是一个对原问题从大到小进行拆解的过程，并且会有一个 明确的终点（临界点）。一旦原问题到达了这个临界点，就不用再往更小的问题上拆解了。最后， 从这个临界点开始，把小问题的答案按照原路返回，原问题便得以解决。

递归的思想与数学归纳法类似。

主要考虑：

1. 可以拆解为除了数据规模以外，求解思路完全相同的子问题；
2. 存在终止条件。

• 汉诺塔问题

递归是解决问题的一种手段。

而分治算法是一种策略。

分治策略

分治法经常会用在海量数据处理中。这也是它显著区别于遍历查找方法的优势。在面对陌生问题时，需要注意原问题的数据是否有序，预期的时间复杂度是否带有 logn 项，是否可以通过小问题的答案合并出原问题的答案。如果这些先决条件都满足，你就应该第一时间想到分治法。

从定性的角度来看，分治法的核心思想就是**“分而治之”**。利用分而治之的思想，就可以把一个大规模、高难度的问题，分解为若干个小规模、低难度的小问题。通常而言，这些子问题具备互相独立、形式相同的特点。随后，开发者将面对多个简单的问题，并很快地找到答案各个击破。在把这些简单问题解决好之后，我们通过把这些小问题的答案合并，就得到了原问题的答案。

一般原问题都需要具备以下几个特征：

1. 难度在降低，即原问题的解决难度，随着数据的规模的缩小而降低。这个特征绝大多数问题都是满足的。
2. 问题可分，原问题可以分解为若干个规模较小的同类型问题。这是应用分治法的前提。
3. 解可合并，利用所有子问题的解，可合并出原问题的解。这个特征很关键，能否利用分治法完全取决于这个特征。
4. 相互独立，各个子问题之间相互独立，某个子问题的求解不会影响到另一个子问题。如果子问题之间不独立，则分治法需要重复地解决公共的子问题，造成效率低下的结果。

分治法需要递归地分解问题，再去解决问题。因此，分治法在每轮递归上，都包含了分解问题、解决问题和合并结果这 3 个步骤。

最佳应用：快速排序和归并排序。

二分查找的思路比较简单，步骤如下：

1. 选择一个标志 i 将集合 L 分为二个子集合，一般可以使用中位数；
2. 判断标志 L(i) 是否能与要查找的值 des 相等，相等则直接返回结果；
3. 如果不相等，需要判断 L(i) 与 des 的大小；
4. 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找。如果向某个方向查找的空间为 0，则返回结果未查到；
5. 回到步骤 1。

得到的经验：

1. 二分查找的时间复杂度是 O(logn)，这也是分治法普遍具备的特性。当你面对某个代码题，而且约束了时间复杂度是 O(logn) 或者是 O(nlogn) 时，可以想一下分治法是否可行。
2. 二分查找的循环次数并不确定。一般是达到某个条件就跳出循环。因此，编码的时候，多数会采用 while 循环加 break 跳出的代码结构。
3. 二分查找处理的原问题必须是有序的。因此，当你在一个有序数据环境中处理问题时，可以考虑分治法。相反，如果原问题中的数据并不是有序的，则使用分治法的可能性就会很低了。

排序算法

衡量一个排序算法的优劣，我们主要会从以下 3 个角度进行分析：

1．时间复杂度，具体包括，最好时间复杂度、最坏时间复杂度以及平均时间复杂度。

2．空间复杂度，如果空间复杂度为 1，也叫作原地排序。

3．稳定性，排序的稳定性是指相等的数据对象，在排序之后，顺序是否能保证不变。

冒泡排序

冒泡排序最好时间复杂度是 O(n)，也就是当输入数组刚好是顺序的时候，只需要挨个比较一遍就行了，不需要做交换操作，所以时间复杂度为 O(n)。

冒泡排序最坏时间复杂度会比较惨，是 O(n*n)。也就是说当数组刚好是完全逆序的时候，每轮排序都需要挨个比较 n 次，并且重复 n 次，所以时间复杂度为 O(n*n)。

很显然，当输入数组杂乱无章时，它的平均时间复杂度也是 O(n*n)。

冒泡排序不需要额外的空间，所以空间复杂度是 O(1)。

插入排序

选取未排序的元素，插入到已排序区间的合适位置，直到未排序区间为空。插入排序顾名思义，就是从左到右维护一个已经排好序的序列。直到所有的待排数据全都完成插入的动作。

插入排序最好时间复杂度是 O(n)，即当数组刚好是完全顺序时，每次只用比较一次就能找到正确的位置。这个过程重复 n 次，就可以清空未排序区间。

插入排序最坏时间复杂度则需要 O(n*n)。即当数组刚好是完全逆序时，每次都要比较 n 次才能找到正确位置。这个过程重复 n 次，就可以清空未排序区间，所以最坏时间复杂度为 O(n*n)。

插入排序的平均时间复杂度是 O(n*n)。这是因为往数组中插入一个元素的平均时间复杂度为 O(n)，而插入排序可以理解为重复 n 次的数组插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n*n)。

插入排序不需要开辟额外的空间，所以空间复杂度是 O(1)。

插入排序是稳定的排序算法

小结：插入排序和冒泡排序算法的异同点

接下来我们来比较一下上面这两种排序算法的异同点：

相同点

• 插入排序和冒泡排序的平均时间复杂度都是 O(n*n)，且都是稳定的排序算法，都属于原地排序。

差异点

• 冒泡排序每轮的交换操作是动态的，所以需要三个赋值操作才能完成；
• 而插入排序每轮的交换动作会固定待插入的数据，因此只需要一步赋值操作。

归并排序

分治法的应用。

对于归并排序，它采用了二分的迭代方式，复杂度是 logn。

每次的迭代，需要对两个有序数组进行合并，这样的动作在 O(n) 的时间复杂度下就可以完成。因此，**归并排序的复杂度就是二者的乘积 O(nlogn)。**同时，它的执行频次与输入序列无关，因此，归并排序最好、最坏、平均时间复杂度都是 O(nlogn)。

空间复杂度方面，由于每次合并的操作都需要开辟基于数组的临时内存空间，所以空间复杂度为 O(n)。归并排序合并的时候，相同元素的前后顺序不变，所以归并是稳定的排序算法。

快速排序

分治法应用。

快速排序法的原理也是分治法。它的每轮迭代，会选取数组中任意一个数据作为分区点，将小于它的元素放在它的左侧，大于它的放在它的右侧。再利用分治思想，继续分别对左右两侧进行同样的操作，直至每个区间缩小为 1，则完成排序。

在快排的最好时间的复杂度下，如果每次选取分区点时，都能选中中位数，把数组等分成两个，那么此时的时间复杂度和归并一样，都是 O(n*logn)。

而在最坏的时间复杂度下，也就是如果每次分区都选中了最小值或最大值，得到不均等的两组。那么就需要 n 次的分区操作，每次分区平均扫描 n / 2 个元素，此时时间复杂度就退化为 O(n*n) 了。

快速排序法在大部分情况下，统计上是很难选到极端情况的。因此它平均的时间复杂度是 O(n*logn)。

快速排序法的空间方面，使用了交换法，因此空间复杂度为 O(1)。

很显然，快速排序的分区过程涉及交换操作，所以快排是不稳定的排序算法。

排序算法的性能分析

排序算法性能的下限，也就是最差的情况。求数组的最大值，它的时间复杂度是 O(n)。对于 n 个元素的数组，只要重复执行 n 次最大值的查找就能完成排序。因此排序最暴力的方法，时间复杂度是 O(n*n)。这恰如冒泡排序和插入排序。

当我们利用算法思维去解决问题时，就会想到尝试分治法。此时，利用归并排序就能让时间复杂度降低到 O(nlogn)。然而，归并排序需要额外开辟临时空间。一方面是为了保证稳定性，另一方面则是在归并时，由于在数组中插入元素导致了数据挪移的问题。

为了规避因此而带来的时间损耗，此时我们采用快速排序。通过交换操作，可以解决插入元素导致的数据挪移问题，而且降低了不必要的空间开销。但是由于其动态二分的交换数据，导致了由此得出的排序结果并不稳定。

如果对数据规模比较小的数据进行排序，可以选择时间复杂度为 O(n*n) 的排序算法。因为当数据规模小的时候，时间复杂度 O(nlogn) 和 O(n*n) 的区别很小，它们之间仅仅相差几十毫秒，因此对实际的性能影响并不大。

但对数据规模比较大的数据进行排序，就需要选择时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法了。

• 归并排序的空间复杂度为 O(n)，也就意味着当排序 100M 的数据，就需要 200M 的空间，所以对空间资源消耗会很多。
• 快速排序在平均时间复杂度为 O(nlogn)，但是如果分区点选择不好的话，最坏的时间复杂度也有可能逼近 O(n*n)。而且快速排序不具备稳定性，这也需要看问题是否有稳定性的需求。

动态规划

不满足分治中的子问题互相独立。

从数学的视角来看，动态规划是一种运筹学方法，是在多轮决策过程中的最优方法**。

那么，什么是多轮决策呢？其实多轮决策的每一轮都可以看作是一个子问题。从分治法的视角来看，每个子问题必须相互独立。但在多轮决策中，这个假设显然不成立。这也是动态规划方法产生的原因之一。

动态规划中的状态是影响子问题独立的重要因素，因为动态规划中的下一个状态与当前和之前的状态紧密联系。

• 动态规划的基本方法

  动态规划问题之所以难，是因为动态规划的解题方法并没有那么标准化，它需要你因题而异，仔细分析问题并寻找解决方案。虽然动态规划问题没有标准化的解题方法，但它有一些宏观层面通用的方法论：

  了解了方法论、状态、多轮决策之后，我们再补充一些动态规划的基本概念。

• 策略，每轮的动作是决策，多轮决策合在一起常常被称为策略。
• 策略集合，由于每轮的决策动作都是一个变量，这就导致合在一起的策略也是一个变量。我们通常会称所有可能的策略为策略集合。因此，动态规划的目标，也可以说是从策略集合中，找到最优的那个策略。

1. 分阶段，将原问题划分成几个子问题。一个子问题就是多轮决策的一个阶段，它们可以是不满足独立性的。

2. 找状态，选择合适的状态变量 Sk。它需要具备描述多轮决策过程的演变，更像是决策可能的结果。

3. 做决策，确定决策变量 uk。每一轮的决策就是每一轮可能的决策动作，例如 D2 的可能的决策动作是 D2 -> E2 和 D2 -> E3。

4. 状态转移方程。这个步骤是动态规划最重要的核心，即 sk+1= uk(sk) 。

5. 定目标。写出代表多轮决策目标的指标函数 Vk,n。

6. 寻找终止条件。

一般而言，具有如下几个特征的问题，可以采用动态规划求解：

1. 最优子结构。它的含义是，原问题的最优解所包括的子问题的解也是最优的。例如，某个策略使得 A 到 G 是最优的。假设它途径了 Fi，那么它从 A 到 Fi 也一定是最优的。
2. 无后效性。某阶段的决策，无法影响先前的状态。可以理解为今天的动作改变不了历史。
3. 有重叠子问题。也就是，子问题之间不独立。 这个性质是动态规划区别于分治法的条件。如果原问题不满足这个特征，也是可以用动态规划求解的，无非就是杀鸡用了宰牛刀。

• 最短距离动态规划

  可以暴力求解，所有路径都遍历一次，去查找最短的路径。

  动态规划求解方法：

解决问题的分析步骤

1. 确定 复杂度的上下限。上限一般采用暴力解法估计，不计时间、空间的最直接的解法。然后根据具体的问题分析复杂度的下限。比如是否需要对每个元素遍历等。
2. 首先明确问题的类型。比如：查找？还是删除？还是需要用到其他类型的算法思路。
3. 根据不同的算法以及 数据结构的特点，采用合理且能达到理论上最优秀的方式。一般是利用空间换取时间。