算法笔记 | 一文读懂K-means聚类算法
1、引言
什么是聚类？我们通常说，机器学习任务可以分为两类，一类是监督学习，一类是无监督学习。监督学习：训练集有明确标签，监督学习就是寻找问题（又称输入、特征、自变量）与标签（又称输出、目标、因变量）之间关系的学习方式。监督学习模型又可以分为两类，分类和回归。
分类模型：目标变量是离散的分类型变量；回归模型：目标变量是连续性数值型变量。
无监督学习：只有数据，无标签，即训练集没有标注目标变量。常见的无监督学习算法有聚类，由计算机自己找出规律，把有相似属性的样本放在一组，每个小组也称为簇。
简单来说，聚类是指根据相似数据点的属性或特征将它们分组在一起。
例如，如果我们有一组人的收入和支出，我们可以将他们分为以下几类：
高收入，高消费
高收入，低消费
低收入，低消费
低收入，高消费
2、K-means聚类
聚类算法有很多，最流行的聚类算法之一是 k-means。让我们了解 k-means 算法是如何工作的，以及该算法可能达不到预期的情况。
K-means有一个很著名很清晰的解析，就是牧师-村民模型。
有四个牧师去郊区布道，一开始牧师们随意选了几个布道点，并且把这几个布道点的情况公告给了郊区所有的居民，于是每个居民到离自己家最近的布道点去听课。听课之后，大家觉得距离太远了，于是每个牧师统计了一下自己的课上所有的居民的地址，搬到了所有地址的中心地带，并且在海报上更新了自己的布道点的位置。牧师每一次移动不可能离所有人都更近，有的人发现A牧师移动以后自己还不如去B牧师处听课更近，于是每个居民又去了离自己最近的布道点……就这样，牧师每个礼拜更新自己的位置，居民根据自己的情况选择布道点，最终稳定了下来。
根据上面这个故事，我们可以简单来概括一下K-means算法的一般步骤，K-Means聚类步骤是一个循环迭代的算法，非常简单易懂：
Step1：确定类别数量K，K值人为设定，在训练数据分布范围内，随机选择K个点作为初始中心点；
Step2：按照距离最小原则，把所有数据点分到距离最近的中心点所在的类中；step3：每类中有若干个观数据点，计算K个类中所有数据点的均值，作为下一次迭代的中心点；
Step4：重复step2、step3步，直到收敛（每个数据点所属类别或中心点不再改变），聚类过程结束。
下面我们通过一组图来直观了解一下K-means算法迭代过程：
随机生成了3个聚类中心点，然后分别计算每一个数据点对这些中心的距离，把距离最短的那个当成自己的类别。这样每个点都会对应一个中心点，可以看到聚类的并不准确，红色聚类中心太偏，没有数据点属于该类，在代码中，我们会再次随机更新这个聚类中心。
经过一次迭代之后，聚类中心向该类别的数据点的中心移动。
收敛状态，聚类中心移动到每个类别数据点中心，继续迭代中心点位置也不在变化。
3、思考
如果我们用欧式距离评估数据点与聚类中心的距离，那么在k-means算法步骤中，相当于我们一直在寻求一种最优的分割方式，使得总平方误差（SSE）最小，即数据点与其聚类中心的欧式距离最小。
第一，把样本点分到最近邻的簇中，这样会降低SSE的值；
第二，用均值更新聚类中心，进一步的减小了SSE（以MSE为目标函数，求导可知最优解即为平均数，以MAE为目标函数，求导可知最优解为中位数，因此如果采用曼哈顿距离进行聚类，更新聚类中心时，我们就需要采用中位数而不是平均数更新）。
这样的重复迭代、不断优化，会找到局部最优解（局部最小的SSE），如果想要找到全局最优解需要找到合理的初始聚类中心。
那合理的初始中心怎么选？方法有很多，譬如先随便选个点作为第1个初始中心C1，接下来计算所有样本点与C1的距离，距离最大的被选为下一个中心C2，直到选完K个中心。这个算法叫做K-Means++，可以理解为 K-Means的改进版，它可以能有效地解决初始中心的选取问题，但无法解决离群点问题。
总的来说，最好解决办法还是多尝试几次，即多设置几个不同的初始点，从中选最优，也就是具有最小SSE值的那组作为最终聚类。
如果K过大，样本划分就越细，每个簇的聚合程度就越高，误差平方和SSE自然就越小。所以不能单纯像选择初始点那样，用不同的K来做尝试，选择SSE最小的聚类结果对应的K值，毫无疑问，SSE最小时必然对应K的最大值。
假设在我们的原始数据中，其客观存在的类别数量为M，当K值小于M时，随着K值的增大，SSE会快速下降，而当K值大于M时，随着K值增大，SSE下降幅度会减小。
如下图所示，M取值事先未知，K=2开始尝试，发现K=3时，SSE大幅下降，K=4时，SSE下降幅度稍微小了点，K=5时，下降幅度迅速降低，再后面就越来越平缓。所以我们认为M取值应该为4，因此可以将K设定为4。
这种方法叫做“手肘法”，因为SSE和K的关系图就像是手肘的形状，而肘部对应的K值就被认为是数据的真实聚类数。
4、总结
k-means 聚类概念听起来不错，它易于理解，相对容易实现，并且可以应用于很多用例中。最重要的一点是，算法复杂度不高，仅仅为O(s*n)，s为迭代次数，而一般情况下，k-means算法收敛速度很快，迭代次数不超过10次，因此在数据集较大时，k-means应用起来非常方便。
但也有一些缺点和局限性需要我们注意。从上文的算例来看，k-means 算法似乎运行得很好，但是，如果你仔细观察，你会发现所有创建的簇都是圆形的。这是因为聚类中心是使用平均值迭代更新的。
现在，考虑下面的例子，其中点的分布不是圆形的。如果我们对这些数据使用 k-means 聚类，你认为会发生什么？它仍然试图以循环方式对数据点进行分组。那不太好！k-means 无法识别正确的分类：
因此，我们需要一种不同的方法来将数据点分配给聚类中心。因此，我们不应该再使用基于距离的模型，而是应该使用基于分布的模型。
下一篇文章，我们再来看，高斯混合模型(GMM)是如何来克服K-means算法的缺点。
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