让你彻底整明白图的深度优先遍历
在讲深度优先遍历之前,先来回顾一下图这种数据结构。
1. 是什么?
图,也是一种数据结构,其节点可以具有零个或者多个相邻元素,两个节点之间的连接称为边,节点也称为顶点,图表示的是多对多的关系。
2. 图的常用概念:
-
顶点:就是节点,上图中的ABCDEFGH都是顶点;
-
边:每个节点之间的连线叫做边;
-
路径:从一个顶点到另一个顶点的通路,比如从A到G的路径有:
A ---> B ---> G
和A ---> F ---> G
; -
无向图:上面的就是无向图,就是节点之间的连线是没有方向的,A可以到B,B也可以到A;
-
有向图:节点之间的连线是有方向的;
-
带权图:边具有权值的图叫做带权图,也叫网。
3. 图的表示方式:
-
邻接矩阵:也就是用二维数组表示。假如总共有n个顶点,那么就需要一个 n*n 的二维数组。两个顶点之间如果是连通的就用1表示,反之用0表示。这种方式的缺点就是,假如n很大,但是相互连通的顶点却很少,即一个二维数组中真正有用的数据特别少,那么就会造成空间的浪费;
-
邻接表:邻接表只关心存在的边,即只关注能相互连通的顶点,因此没有空间浪费。邻接表用数组和链表组合实现。数组下标表示顶点编号,数组中存的值是一条链表,链表中的数据就是数组该下标对应顶点连通的顶点编号。比如顶点0可以和顶点2,3,6连通,那么数组第一个位置存放的就是
2 ---> 3 ---> 6
这条链表。
4. 无向图的创建(邻接矩阵):
开篇所示的无向图,怎么用邻接矩阵代码实现呢?思路如下:
-
创建一个
List<String>
,用来保存各个顶点; -
创建一个二维数组,用来保存顶点之间的边,顶点与顶点之间有连线的用1表示,反之用0。所以这个二位数组就是:
A B C D E F G H
A[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1]
B[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
C[0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
D[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
E[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
F[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0]
G[0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0]
H[1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]
-
所以,创建图也就是创建这个邻接矩阵,代码如下:
public class UnDirectionGraph {
private List<String> vertexList; // 存放顶点
private int[][] edges; // 邻接矩阵,存放图的边
private boolean[] isVisited; // 顶点是否被访问
/**
* 构造器
* @param vertexCount 顶点的个数
*/
public UnDirectionGraph(int vertexCount, List<String> vertex){
this.vertexList = vertex;
this.edges = new int[vertexCount][vertexCount];
this.isVisited = new boolean[vertexCount];
}
/**
* 构建无向图
* @param vertex1 顶点1
* @param vertex2 顶点2
* @param isConnected 顶点1和顶点2是否连通,0:未连通 1:已连通
*/
public void buildGraph(String vertex1, String vertex2, int isConnected){
edges[vertexList.indexOf(vertex1)][vertexList.indexOf(vertex2)] = isConnected;
edges[vertexList.indexOf(vertex2)][vertexList.indexOf(vertex1)] = isConnected;
}
/**
* 打印邻接矩阵
*/
public void printGraph(){
for(int[] arr : edges){
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
}
测试代码:
public static void main(String[] args) {
int vertexCount = 8;
List<String> vertexList = new ArrayList<>();
vertexList.add("A");
vertexList.add("B");
vertexList.add("C");
vertexList.add("D");
vertexList.add("E");
vertexList.add("F");
vertexList.add("G");
vertexList.add("H");
UnDirectionGraph graph = new UnDirectionGraph(vertexCount, vertexList);
graph.buildGraph("A", "B", 1);
graph.buildGraph("A", "H", 1);
graph.buildGraph("A", "F", 1);
graph.buildGraph("B", "G", 1);
graph.buildGraph("B", "C", 1);
graph.buildGraph("C", "D", 1);
graph.buildGraph("C", "E", 1);
graph.buildGraph("D", "H", 1);
graph.buildGraph("E", "G", 1);
graph.buildGraph("F", "G", 1);
graph.printGraph();
}
5. 无向图的遍历:
(1). 遍历分类:
图的遍历分为两种:
-
深度优先:depth first search,简称DFS。先从初始顶点出发,访问第一个邻接顶点,然后再以这个被访问到的邻接顶点作为初始顶点,访问它的第一个邻接顶点。可以理解为一条路走到底,而不是把一个顶点的所有邻接顶点先进行横向访问,而是纵向优先,所以也叫深度优先。
-
广度优先:broad first search,简称BFS。类似于二叉树的层序遍历,具体的本文不做介绍。
(2). 深度优先算法步骤:
以开篇中的图为例:
-
访问A,并将A标记为已访问;
-
找到A的第一个未被访问邻接顶点,怎么找?看矩阵:
A B C D E F G H
A[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1]
第一个1
对应的是B,所以A的第一个邻接顶点是B,所以第二个遍历出来的是B,并且标记B为已访问;
-
找到B的第一个未被访问的邻接顶点,方式一样,看矩阵:
A B C D E F G H
B[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
找到的是C,所以第三个遍历出来的是C,并且标记C为已访问;
-
找到C的第一个未被访问的邻接顶点,是D,打印D,并标记为已访问;
-
找到D的第一个未被访问的邻接顶点,是H,打印H,并标记为已访问;
-
找到H的第一个未被访问的邻接顶点,发现没有,也就是这条路走到底了,那么开始往回走;
-
回到D,没有未被访问的,再往回,直到回到C;
-
回到C,找到C的第一个邻接顶点D的后一个邻接顶点:
A B C D E F G H
C[0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
说白了就是这一行的D后面的那个1,就是E,打印E,并标记为已访问;
-
找到E的第一个未被访问的邻接顶点G,打印G;
-
找到G的第一个未被访问的邻接顶点F,打印F;
-
到了F,发现F的所有邻接顶点都被访问过了,往回走,发现所有顶点的邻接顶点都被访问过了,就遍历完了,所以遍历的结果就是:
A --- B --- C --- D --- H --- E --- G --- F
其实概括地说就是:从第一个顶点开始,每次都选择该顶点的第一个邻接顶点往下走,走到死胡同的时候,就往回走,回到最后一次有岔路的地方,换另一条岔路走,又走到死胡同继续往回走……
(3). 深度优先遍历代码:
首先得在UnDirectionGraph
类中加一个变量,用来表示该顶点有没有被访问过,如下:
private boolean[] isVisited; // 顶点是否被访问
然后在UnDirectionGraph
中再增加如下方法:
/**
* 查找顶点vertex的第一个邻接顶点
* @param vertex
*/
public int findFstNeighbor(String vertex){
// 拿到vertex的索引
int vertexIndex = vertexList.indexOf(vertex);
// 遍历二维数组的第 vertexIndex 行
int[] arr = edges[vertexIndex];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
// 如果arr[i] = 1,说明i对应的顶点就是vertex的邻接顶点
if (arr[i] == 1){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据vertex的前一个邻接顶点priorVertexIndex,找到下一个邻接顶点
* @param vertex
* @param priorVertexIndex
* @return
*/
public int findNeighborByPriorNeighbor(String vertex, int priorVertexIndex){
// 拿到vertex的索引
int vertexIndex = vertexList.indexOf(vertex);
// 从(priorVertexIndex + 1)开始遍历二维数组的第 vertexIndex 行
int[] arr = edges[vertexIndex];
for (int i = priorVertexIndex + 1; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] == 1){
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先遍历
* @param vertex
*/
private void dfs(String vertex, boolean[] isVisited){
// 打印当前顶点
System.out.print(vertex + " --- ");
// 标记当前顶点已经访问
isVisited[vertexList.indexOf(vertex)] = true;
// 找到当前顶点第一个邻接顶点
int neighbor = findFstNeighbor(vertex);
// 不等于-1,就打印,并且把第一个邻接顶点当成当前顶点,再去找它的第一个邻接顶点
while (neighbor != -1){
// 如果neighbor没有被访问过
if (!isVisited[neighbor]){
dfs(vertexList.get(neighbor), isVisited);
} else {
// 如果neighbor被访问过了,就找下一个邻接顶点
neighbor = findNeighborByPriorNeighbor(vertex, neighbor);
}
}
// 跳出循环,说明一条路走到底了,就应该开始回溯,怎么回溯?
// 其实外面再写个方法,循环vertexList,让每个未被访问过的顶点都调用这个方法就好了
}
public void dfs() {
for (String str : vertexList){
if (!isVisited[vertexList.indexOf(str)]){
dfs(str, isVisited);
}
}
}
深度优先遍历的方法都写了详细注释,这里不再赘述。说一说找某个顶点的第一个邻接顶点(findFstNeighbor)和找某个顶点指定邻接顶点后面的那个邻接顶点(findNeighborByPriorNeighbor)这两个方法。
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findFstNeighbor:我们构建好了二维数组,即邻接矩阵,所以找某个顶点的邻接顶点直接在矩阵中找就可以。比如我要找 A
的第一个邻接顶点,那就遍历A
所在的那一行,找到第一个1
出现位置的索引,该索引对应的就是A
的第一个邻接顶点。如下:
A B C D E F G H
A[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1]
A
对应的就是这一行,第一个1
出现的位置的索引是1,1在vertexList中对应的是B
,所以A
的第一个邻接顶点就是B
。
-
findNeighborByPriorNeighbor:这个方法是什么意思呢?比如我传入的参数是 A
,1
,意思就是我要找A
的邻接顶点,找什么要的邻接顶点?就是在
A B C D E F G H
A[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1]
这一行中,找到位置1后面的那个邻接顶点,即找到位置1后面的1
第一次出现的位置的索引,显然对应的索引是5,在vertexList中对应的是F
。
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