当老司机学会了贪心算法 🤔
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134.加油站（Medium）
今天讲一个贪心的老司机的故事，就是力扣第 134 题「加油站」：
题目应该不难理解，就是每到达一个站点i，可以加gas[i]升油，但离开站点i需要消耗cost[i]升油，问你从哪个站点出发，可以兜一圈回来。
要说暴力解法，肯定很容易想到，用一个 for 循环遍历所有站点，假设为起点，然后再套一层 for 循环，判断一下是否能够转一圈回到起点：
int n = gas.length;
for (int start = 0; start < n; start++) {
for (int step = 0; step < n; step++) {
int i = (start + step) % n;
tank += gas[i];
tank -= cost[i];
// 判断油箱中的油是否耗尽
}
}
很明显时间复杂度是 O(N^2)，这么简单粗暴的解法一定不是最优的，我们试图分析一下是否有优化的余地。
暴力解法是否有重复计算的部分？是否可以抽象出「状态」，是否对同一个「状态」重复计算了多次？
我们前文 说过，变化的量就是「状态」。那么观察这个暴力穷举的过程，变化的量有两个，分别是「起点」和「当前油箱的油量」，但这两个状态的组合肯定有不下 O(N^2) 种，显然没有任何优化的空间。
所以说这道题肯定不是通过简单的剪枝来优化暴力解法的效率，而是需要我们发现一些隐藏较深的规律，从而减少一些冗余的计算。
下面我们介绍两种方法巧解这道题，分别是数学图像解法和贪心解法。
图像解法
汽车进入站点i可以加gas[i]的油，离开站点会损耗cost[i]的油，那么可以把站点和与其相连的路看做一个整体，将gas[i] - cost[i]作为经过站点i的油量变化值：
这样，题目描述的场景就被抽象成了一个环形数组，数组中的第i个元素就是gas[i] - cost[i]。
有了这个环形数组，我们需要判断这个环形数组中是否能够找到一个起点start，使得从这个起点开始的累加和一直大于等于 0。
如何判断是否存在这样一个起点start？又如何计算这个起点start的值呢？
我们不妨就把 0 作为起点，计算累加和的代码非常简单：
int n = gas.length, sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 计算累加和
sum += gas[i] - cost[i];
}
sum就相当于是油箱中油量的变化，上述代码中sum的变化过程可能是这样的：
显然，上图将 0 作为起点肯定是不行的，因为sum在变化的过程中小于 0 了，不符合我们「累加和一直大于等于 0」的要求。
那如果 0 不能作为起点，谁可以作为起点呢？
看图说话，图像的最低点最有可能可以作为起点：
如果把这个「最低点」作为起点，就是说将这个点作为坐标轴原点，就相当于把图像「最大限度」向上平移了。
再加上这个数组是环形数组，最低点左侧的图像可以接到图像的最右侧：
这样，整个图像都保持在 x 轴以上，所以这个最低点 4，就是题目要求我们找的起点。
不过，经过平移后图像一定全部在 x 轴以上吗？不一定，因为还有无解的情况：
如果sum(gas[...]) < sum(cost[...])，总油量小于总的消耗，那肯定是没办法环游所有站点的。
综上，我们就可以写出代码：
int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
int n = gas.length;
// 相当于图像中的坐标点和最低点
int sum = 0, minSum = Integer.MAX_VALUE;
int start = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum += gas[i] - cost[i];
if (sum < minSum) {
// 经过第 i 个站点后，使 sum 到达新低
// 所以站点 i + 1 就是最低点（起点）
start = i + 1;
minSum = sum;
}
}
if (sum < 0) {
// 总油量小于总的消耗，无解
return -1;
}
// 环形数组特性
return start == n ? 0 : start;
}
以上是观察函数图像得出的解法，时间复杂度为 O(N)，比暴力解法的效率高很多。
下面我们介绍一种使用贪心思路写出的解法，和上面这个解法比较相似，不过分析过程不尽相同。
贪心解法
用贪心思路解决这道题的关键在于以下这个结论：
如果选择站点i作为起点「恰好」无法走到站点j，那么i和j中间的任意站点k都不可能作为起点。
比如说，如果从站点1出发，走到站点5时油箱中的油量「恰好」减到了负数，那么说明站点1「恰好」无法到达站点5；那么你从站点2,3,4任意一个站点出发都无法到达5，因为到达站点5时油箱的油量也必然被减到负数。
如何证明这个结论？
假设tank记录当前油箱中的油量，如果从站点i出发（tank = 0），走到j时恰好出现tank < 0的情况，那说明走到i, j之间的任意站点k时都满足tank > 0，对吧。
如果把k作为起点的话，相当于在站点k时tank = 0，那走到j时必然有tank < 0，也就是说k肯定不能是起点。
拜托，从i出发走到k好歹tank > 0，都无法达到j，现在你还让tank = 0了，那更不可能走到j了对吧。
综上，这个结论就被证明了。
回想一下我们开头说的暴力解法是怎么做的？
如果我发现从i出发无法走到j，那么显然i不可能是起点。
现在，我们发现了一个新规律，可以推导出什么？
如果我发现从i出发无法走到j，那么i以及i, j之间的所有站点都不可能作为起点。
看到冗余计算了吗？看到优化的点了吗？
这就是贪心思路的本质，如果找不到重复计算，那就通过问题中一些隐藏较深的规律，来减少冗余计算。
根据这个结论，就可以写出如下代码：
int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
int n = gas.length;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum += gas[i] - cost[i];
}
if (sum < 0) {
// 总油量小于总的消耗，无解
return -1;
}
// 记录油箱中的油量
int tank = 0;
// 记录起点
int start = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
tank += gas[i] - cost[i];
if (tank < 0) {
// 无法从 start 走到 i
// 所以站点 i + 1 应该是起点
tank = 0;
start = i + 1;
}
}
return start == n ? 0 : start;
}
这个解法的时间复杂度也是 O(N)，和之前图像法的解题思路有所不同，但代码非常类似。
其实，你可以把这个解法的思路结合图像来思考，可以发现它们本质上是一样的，只是理解方式不同而已。
对于这种贪心算法，没有特别套路化的思维框架，主要还是靠多做题多思考，将题目的场景进行抽象的联想，找出隐藏其中的规律，从而减少计算量，进行效率优化。
好了，这道题就讲到这里，希望对你拓宽思路有帮助。
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labuladong
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