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写在前面

之前讲的链表，栈，队列等都是线性存储结构，都是一对一的关系。而树是具有一对多关系的数据结构。比如我们经常说的湖北省武汉市，湖南长沙的一个类图，就类似于一颗倒转的树。

什么是树

树是一种数据结构，由n个节点构成的具有层次关系的有限集合。

树的基本术语

节点：树中的每一个数据元素都是节点（A，B...）

节点的度：节点的子树个数（A的子树为B和C）

树的度：树中所有节点最大的度（树A和树C的度都是2）

叶子节点：度为0的节点（D，E，F）

节点的层次：树的根开始，树根所在的层为第一层，根的子节点所在的层为第二层（A第一层，BC第二层）

有序树和无序树：子树有左右顺序之分 （如左边的小于右边），反之则为无序树

树的特点

1. 子树是不相交的

2. 除了根节点之外，每个节点有且只有一个父节点

3. 一个又N个节点构成的树只有N-1条边

什么是二叉树

树中的节点的度不超过2的有序树。

二叉树的特点：

1. 二叉树中，第i层的节点数最多为2i-1

2. 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点

3. 对于任意二叉树，终端结点数（叶子结点数）为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则 n0=n2+1，

   即度为0的节点n0，永远比度为2的节点 n2多一个。

   

满二叉树

二叉树中除了叶子节点，每个节点的度都为2，则此二叉树为满二叉树。

具有 n 个节点的满二叉树的深度为: log2(n+1)

完全二叉树

一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

哈夫曼树(最优二叉树)

若给定一个二叉树如下：

路径：在一棵树中，一个节点到另一个节点之间的通路，称为路径。如上图中的根节点到a之间的通路。

路径长度：在一条路径中，每经过一个节点，路径长度就加1。如上图根节点到节点c的路径长度为3。

节点的权：每个节点赋予一个新的数值。如a的权为7，b的权为5。

节点的带权路劲长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。如b的带权路径长度为2*5=10。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。如图中所示的这颗树的带权路径长度为：WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3

什么是哈夫曼树

构造一棵二叉树（每个节点都是叶子结点且都有各自的权值），该树的带权路径长度达到最小，称为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)

编码问题

场景：给定一段字符串，包含58个字符，且由以下7个字符构成:a,b,c,d,e,f,g，这7个字符出现的频次不同，如何对这7个字符进行编码如何对字符串进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？

如果用标准的等长ASCII编码：58 × 8 = 464位

用二叉树进行编码

若用0和1表示左右分支，取出上面4个频次最高的字符，可以得到如下一棵树：

由上图可知，编码为0100可表示的字符就有3种可能的情况，因此，上面节点的分布具有二义性。如何避免二义性？只需要让每个节点都是叶子节点即可。

哈夫曼树图示构造

通过上面的方式，我们把上面的字符按频次依次两两组合，且都为叶子节点。最后构造图示如下：

因此，我们发现每个节点都是叶子节点，字符最后的编码为：

所以，编码长度为：

10x3 + 15x2 + 12x2 + 3x5 + 4x4 + 13x2 + 1x5 = 146位

代码构造

public class HuffmanTree {

    //节点
    public static class Node<E> {
        //数据，如a,b,c,d。。。
        E data;
        //权重
        int weight;
        //左子节点
        Node leftChild;
        //you子节点
        Node rightChild;

        public Node(E data, int weight) {
            this.data = data;
            this.weight = weight;
        }
  
        public String toString() {
            return "Node[" + weight + ",data=" + data + "]";
        }
    }

    public static Node createHuffmanTree(List<Node> nodeList) {
        //当节点大于1时
        while (nodeList.size() > 1) {
            //先对list中根据权重排序
            sort(nodeList);
            //排序之后第一个节点就是权重最小的节点，第二个节点就是权重第二小的节点
            Node left = nodeList.get(0);
            Node right = nodeList.get(1);
            //生成一个新的父节点，类似于步骤1,但父节点没有数据只有权值
            Node<Node> parent = new Node<>(null, left.weight + right.weight);
            //子节点和父节点链接
            parent.leftChild = left;
            parent.rightChild = right;
            //删除最小的节点
            nodeList.remove(0);
            //删除第二小的
            nodeList.remove(0);
            //添加到list中
            nodeList.add(parent);
        }
        //最后返回根节点一棵树
        return nodeList.get(0);
    }

    /**
     * 冒牌排序
     *
     * @param nodeList
     */
    public static void sort(List<Node> nodeList) {
        if (nodeList.size() <= 1) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nodeList.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < nodeList.size() - 1; j++) {
                //前面的数大于后面的数就交换
                if (nodeList.get(j + 1).weight < nodeList.get(j).weight) {
                    Node temp = nodeList.get(j + 1);
                    nodeList.set(j + 1, nodeList.get(j));
                    nodeList.set(j, temp);
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 打印哈夫曼树，先左后右
     * 即从根节点开始先打印出子节点的左节点，在打印右节点
     * @param root 根节点的树
     */
    public static void printTree(Node root) {
        if (root.leftChild != null) {
            System.out.println("左子节点：" + root.leftChild);
            printTree(root.leftChild);
        }
        if (root.rightChild != null) {
            System.out.println("右子节点：" + root.rightChild);
            printTree(root.rightChild);
        }
    }


    //测试
    public static void main(String[] args) {
        List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
        //把节点加入至list中
        nodes.add(new Node("a", 10));
        nodes.add(new Node("b", 15));
        nodes.add(new Node("c", 12));
        nodes.add(new Node("d", 3));
        nodes.add(new Node("e", 4));
        nodes.add(new Node("f", 13));
        nodes.add(new Node("g", 1));
        Node root = createHuffmanTree(nodes);
        printTree(root);
    }
}

测试结果

左子节点：Node[25,data=null]
左子节点：Node[12,data=c]
右子节点：Node[13,data=f]
右子节点：Node[33,data=null]
左子节点：Node[15,data=b]
右子节点：Node[18,data=null]
左子节点：Node[8,data=null]
左子节点：Node[4,data=e]
右子节点：Node[4,data=null]
左子节点：Node[1,data=g]
右子节点：Node[3,data=d]
右子节点：Node[10,data=a]

总结

本章主要是对树有基础的概念，了解常见的树的特点，后面会继续讲到二叉排序树，二叉平衡树等,数据结构相对来说是比较枯燥的，但是坚持下去会有收获的，不管是对算法还是看源码都有很大提升。

参考

• 数据结构树，树存储结构详解