石材切割--动态规划
问题描述
给定一个最大的总切割目标石块，再给定一系列我们需要的样板石块。寻找切割方法使得我们从目标石块上切割出的所需样板石块的面积和最大，即对目标石块的利用率最高。限制切割为一刀切，即一次切割必须把一块石板一分为二，不能只切一段。
算法分析
对于当前长为w，宽为h的石板，每切割一次，就会剩下两个剩余石板，即两个子问题。
递归方程为：
1.横切，C1(w,h)=max{si+C(w-wi,hi)+C(w,h-hi):1<=i<=n}
2.竖切 C2(w,h)=max{ si+C(w-wi,h)+C(wi,h-hi):1<=i<=n}
C(w,h)=max{ C1(w,h), C2(w,h)}
动态规划的思想在于用备忘录的方法把子问题的解记录下来，为了防止重复切割，我们把之前子问题已经切过的石块记录下来。
设计思路
根据上述的递归方程，选择数据结构，二维数组记录子问题的解，即
beiwanglu C[10000][10000]; //备忘录填表
struct beiwanglu{
int max_area=0;
vector<int> f; //切割石块记录
};
struct beiwanglu 包含了当前子问题的最优解，以及最优解所切割石块的记录，避免重复切割。
源代码
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
struct beiwanglu{
int max_area=0;
vector<int> f; //切割石块记录
};
vector<int> W; //待切割石材的宽，数组的下标就是每块石块的id
vector<int> H; //待切割石材的高
beiwanglu C[10000][10000]; //备忘录填表
int main_sheet_W,main_sheet_H,total_number; //大石块的宽，高和待切割石块的数量
//寻找当前石块有没有被标志过，没有被标志过返回1
int notfind(int k,vector<int> vec){
vector<int>::iterator ret;
ret = std::find(vec.begin(), vec.end(), k);
if(ret != vec.end())
return 0;
else
return 1;
}
//动态规划填表
int work(){
//memset(C, 0, sizeof(C));
for(int i=1;i<=main_sheet_W;i++) //二维数组填表,i为当前石块w，j为当前石块h，k为递归方程中的i
for(int j=1;j<=main_sheet_H;j++)
{
//C1(w,h)=max{si+C(w-wi,hi)+C(w,h-hi):1<=i<=n}
//C2(w,h)=max{si+C(w-wi,h)+C(wi,h-hi):1<=i<=n}
double C1=0,flag1=0,C2=0,flag2=0;
//横切
for(int k=1;k<=total_number;k++){
if(i-W[k]>=0 && j-H[k]>=0 && notfind(k,C[i-W[k]][H[k]].f) && notfind(k,C[i][j-H[k]].f)){
if(W[k]*H[k]+C[i-W[k]][H[k]].max_area+C[i][j-H[k]].max_area>C1){
C1 = W[k]*H[k]+C[i-W[k]][H[k]].max_area+C[i][j-H[k]].max_area;
flag1 = k;
}
}
}
//竖切
for(int k=1;k<=total_number;k++){
if(i-W[k]>=0 && j-H[k]>=0 && notfind(k,C[i-W[k]][j].f) && notfind(k,C[W[k]][j-H[k]].f)){
if(W[k]*H[k] + C[i-W[k]][j].max_area + C[W[k]][j-H[k]].max_area> C2){
C2 = W[k]*H[k] + C[i-W[k]][j].max_area + C[W[k]][j-H[k]].max_area;
flag2 = k;
}
}
}
if(flag1==0 && flag2 ==0) continue; //如果都无法切割则填0，继续循环
if(C1>=C2){ //横切更好，将子问题的切割记录全部赋给C[i][j].f，并把当前石块追加
C[i][j].max_area = C1;
C[i][j].f.insert(C[i][j].f.end(),C[i-W[flag1]][H[flag1]].f.begin(),C[i-W[flag1]][H[flag1]].f.end());
C[i][j].f.insert(C[i][j].f.end(),C[i][j-H[flag1]].f.begin(),C[i][j-H[flag1]].f.end());
C[i][j].f.push_back(flag1);
}else{ //竖切更好
C[i][j].max_area = C2;
C[i][j].f.insert(C[i][j].f.end(),C[i-W[flag2]][j].f.begin(),C[i-W[flag2]][j].f.end());
C[i][j].f.insert(C[i][j].f.end(),C[W[flag2]][j-H[flag2]].f.begin(),C[W[flag2]][j-H[flag2]].f.end());
C[i][j].f.push_back(flag2);
}
//如果全部切完，则直接返回
sort(C[i][j].f.begin(),C[i][j].f.end());
if(C[i][j].f.size()==total_number){
cout<<"全部切完"<<endl; return 1;
}
}
return 0;
}
//打印备忘录
void print()
{
for(int i=1;i<=main_sheet_W;i++) {
for (int j = 1; j <= main_sheet_H; j++)
cout << C[i][j].max_area << " ";
cout << '\n';
}
}
//打印vector，切割的石块
void printvec( vector<int> vector1){
for(int i=0 ;i<vector1.size();i++)
cout<<W[vector1[i]]<<"*"<<H[vector1[i]]<<endl;
cout<<endl;
}
int main() {
W.push_back(0),H.push_back(0); //第一个不用
cout<<"输入切割石材的宽和高：";
cin>>main_sheet_W>>main_sheet_H;
cout<<"输入待切割石材的数量:";
cin>>total_number;
for(int i=0;i<total_number;i++){
// cout<<"输入小石块的宽和高:";
double w,h; cin>>w>>h;
W.push_back(w); H.push_back(h);
}
int flag = work();
// cout<<"备忘录:"<<endl;
// print();
if(flag == 0) { //如果没有全部切完的话计算利用率
cout << C[main_sheet_W][main_sheet_H].max_area << endl;
cout << "利用率" << C[main_sheet_W][main_sheet_H].max_area / double((main_sheet_W * main_sheet_H))<<endl;
cout << "切割的石块为:"<<endl;
printvec(C[main_sheet_W][main_sheet_H].f); //C[main_sheet_W][main_sheet_H].f存放着已经切割石块的id
}
return 0;
}
效果图