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前文讲到了贝尔曼方程，本节继续深入，从贝尔曼方程开始介绍动态规划。回顾一下上一节的内容。上一节主要介绍了马尔科夫链、马尔科夫决策过程、数学期望和贝尔曼方程。再看一下这几幅图：

马尔科夫链

如图所示，当前状态是S，它的右边有历史状态，从 一步一步移动过来，每一次的状态转移，都只和前一次的状态相关，而跟历史上其他状态无关。当然，每一次状态的转移都有一个概率，称之为状态转移概率。基于这种结构搞决策，就是马尔科夫决策过程。在此基础上，如果每一个状态都会得到相应的“奖励”R，就可以给出数学期望：

数学期望

其中E就是数学期望，等式右边R就是奖励，p就是状态转移概率。这个公式的含义就是在表达由于状态转移而得到的回报的一个“均值”。当然，这是概率均值，不同于普通的算术平均值。在此基础上我们就给出了贝尔曼方程：

贝尔曼方程

这个公式中V就是状态s下的一个数学期望，也就是预期中得到奖励的一个概率均值。等式的右边E就是表达这个概率均值。R就是奖励。值得注意的是，这个公式表达的是一个递推关系，当前状态下“预期奖励”，也取决于下一个状态下的“预期奖励”V(st+1)。层层递进，才能累加出最后的总奖励。

上面的等式中，对于未来的预期过于完美，所以，就给未来的预期加上一个“折扣因子”，于是有了下面的式子：

等式中原理和含义跟贝尔曼方程没有区别。但是加上了γ这个折扣因子，用来给未来的预期打折。我们还提到，虽然这个“折扣因子”通常是0~1的一个实数，但是有的时候为了夸大未来的预期，也可以取大于1的实数，用来表达未来的回报会很多。

到这里，就可以开始这一节的内容。先要把贝尔曼方程进一步细化一下，引入“动作”这个概念。

动作，Action

这个概念不复杂，就是在某一个状态S下，采取什么样的动作。比如狗狗接飞盘的例子，狗狗可以往右走，也可以往左走，还可以原地不动等等，都是动作（Action）。于是，可以用q(s,a)来表达s状态下采取动作a的回报。那么贝尔曼方程就可以改写成以下的样子：

上面的等式中把贝尔曼方程中的回报值V换成了一个q。区别就是q不单单取决于当前的状态，而且还取决于在当前状态下的一个“动作”a。这也就是说，狗狗接飞盘再也不是随机的采取任何一种动作，而是明确的选择动作空间A中的某一种动作a。E还是数学期望，R还是奖励，γ还是折扣因子。回顾一下狗狗接飞盘的图：

上图中，如果狗狗在起始位置，那么它在看到飞盘飞出以后，可以选择从道路崎岖的一边去接飞盘，也可以从人群集中的一边穿过去。这就是状态S0下的两个动作a。

而选择其中任何一个动作，都会有一个概率，也就是机会，可以记作π(a|s)，意思就是状态s下的动作a的概率。把这个东西放进贝尔曼方程又有了新花样：

这个公式强行加入了一个π，和前面的贝尔曼方程中的V(s)以示区别。但是它的含义并不复杂，就是给状态s下面的每一个动作a记录了一个概率。因为有很多种动作，那么就再求一个和。

拿上面的狗狗接飞盘的图做一个说明，每一次狗狗从起始位置看到飞盘以后，都可以选择一个动作a，然后，由于这个动作，又会把狗狗带到下一个状态。比如，处在崎岖的道路上，或者穿行在拥挤的人潮中等等。而这些状态又会给狗狗带来不同的奖励。如果总体评估这个奖励的大小，把上面带有π的贝尔曼方程给展开，就有：

这个公式有一点点小挑战。不过意义很明确，等式左边就是描述在当前状态s下采取所有a的一个“预期回报”。右边，R表示马上可以得到的奖励，p表示一个转移概率，因为从当前状态s到下一个状态s’有可能有很多种转移的方法，就累加起来。π仍然表达状态s下采取动作a的一个概率，q代表递推，也就是下一个状态开始，所能得到的“预期回报”。最后，给所有的“预期回报”乘以一个“折扣因子”γ，就是这个公式的含义。各位看官不禁要问，弄出来这么一个复杂的公式是干什么？因为要选择最优的动作，转移去最好的状态，也就是要优化贝尔曼方程，求得最大“预期回报”。

优化

优化的方法，从数学上表达虽然十分麻烦，可是道理很简单：因为有了贝尔曼方程，在狗狗接飞盘的游戏中，每一次完成游戏，不管成功失败，都可以给中间状态和中间动作求一个“预期回报”。这样，在下一次狗狗接飞盘的训练之中，就可以选择“预期回报”大的那个。重复进行这个过程，狗狗逐渐会尝试每一条道路，每一个动作，不断选取“预期回报”更大的那个，这就是“优化”。每一次优化，又更新了贝尔曼方程的值，从而利于下一次优化。这个过程持续进行，直到没有什么优化空间的时候，就可以停下来了。

这个过程，也正是简单的强化学习的训练过程。强化学习可以采取的具体训练方法有不少，下面我们就介绍一个比较常见的：

动态规划

不论是在学校的教科书里面，还是在企业的面试里面，这几个字一出来，都会吓倒一片人。为了介绍的容易一点，先把狗狗接飞盘的那个地图简化一下：

上图所示，把狗狗接飞盘的游戏场景简化到了四个状态，分别是起始位置S0，崎岖道路S1，人群拥挤S2，终点S3。狗狗可以选择通过某一条道路到达终点，也可以掉头回来重新选择。每一次选择都会有一个奖励，这个奖励可以是正的，也可以是负的。一旦抵达终点，就不再移动。套用前文讲过的贝尔曼公式，我们可以轻松的计算某一个节点的“预期奖励”。

这里为了简单起见，“折扣因子”γ可以设定成为1，便于理解；同时也可以设定每一次选择道路时，左右两面的选择概率都是0.5。于是就可以有这么几个计算方法：

上面这个方程组想要解开，并不困难。这样就可以得到最终的V(s)在各个状态下的“预期奖励”。

那么问题来了，对于真实的情况，真的可以有这样一组方程可以解吗？虽然是有，可是也许非常的多，可能需要几百万个方程，同时对应几百万个未知数。这解起来就非常划不来，甚至是计算机也很吃力的事情了。比如，自动驾驶的汽车，想要学会在城市里面开车的技能，恐怕会遇到无穷多种情况，也就有无穷多个状态，意味着无穷多个方程。解起来就变成了不可能，那么怎么办呢？

迭代

对，答案就是试一试。虽然无法一次求解无穷多组贝尔曼方程，但是可以不停的尝试猜出来解，只要非常接近真实答案，那么也就达到了要求，没有必要去精确求解了。这个过程就叫做迭代求解。下面我们来猜一猜上面的那个图里面的V(s)。

因为贝尔曼方程是基于马尔科夫链来的，都是递推方程，也就是说某一个状态，跟上面一个状态的值相关。所以，从结果层层追回其实位置，就要求所有的状态必须有一个初始的值，不然就追不到尽头了。那么也很简单，就设置所有的状态初始的值都是0就可以了，就这么简单。于是有下面的一个猜测过程： 

第一次猜测V(s0)：

第一次猜测V(s1)：

第一次猜测V(s2)：

按照上面的方法一次一次的猜下去，最终就会逼近几个状态的真实解。真实解实际上是：

这种具体的迭代法也就是一种动态规划了。意思即是，无法一次求得通解，但是可以在动态的迭代过程中不断地调整值，逐渐逼近真实的解，最后就算无法得到真实的解，也可以加足够逼近的时候停下。而足够逼近真实解的时候，可能每一次迭代的时候解的变化就不大了，这种现象就可以作为一种停止迭代的标志。

本节讲述了贝尔曼方程包括动作a的情况，同时，又由此进而讲解了动态规划的入门操作——迭代。那么后文，我们将一起来编写代码，实现动态规划的一些算法。

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