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NO.1

　有20瓶药丸，其中19瓶装有1克/粒的药丸，余下一瓶装有1.1克/粒的药丸。给你一台称重精准的天平，怎么找出比较重的那瓶药丸？天平只能用一次。

解法

有时候，严格的限制条件有可能反倒是解题的线索。在这个问题中，限制条件是天平只能用一次。

因为天平只能用一次，我们也得以知道一个有趣的事实：一次必须同时称很多药丸，其实更准确地说，是必须从19瓶拿出药丸进行称重。否则，如果跳过两瓶或更多瓶药丸，又该如何区分没称过的那几瓶呢？别忘了，天平只能用一次。

那么，该怎么称重取自多个药瓶的药丸，并确定哪一瓶装有比较重的药丸？假设只有两瓶药丸，其中一瓶的药丸比较重。每瓶取出一粒药丸，称得重量为2.1克，但无从知道这多出来的0.1克来自哪一瓶。我们必须设法区分这些药瓶。

如果从药瓶#1取出一粒药丸，从药瓶#2取出两粒药丸，那么，称得重量为多少呢？结果要看情况而定。如果药瓶#1的药丸较重，则称得重量为3.1克。如果药瓶#2的药丸较重，则称得重量为3.2克。这就是这个问题的解题窍门。

称一堆药丸时，我们会有个“预期”重量。而借由预期重量和实测重量之间的差别，就能得出哪一瓶药丸比较重，前提是从每个药瓶取出不同数量的药丸。

将之前两瓶药丸的解法加以推广，就能得到完整解法：从药瓶#1取出一粒药丸，从药瓶#2取出两粒，从药瓶#3取出三粒，依此类推。如果每粒药丸均重1克，则称得总重量为210克（1 + 2 + … + 20 = 20 * 21 / 2 = 210），“多出来的”重量必定来自每粒多0.1克的药丸。

药瓶的编号可由算式(weight - 210 grams) / 0.1 grams得出。因此，若这堆药丸称得重量为211.3克，则药瓶#13装有较重的药丸。

NO.2

　有个8×8棋盘，其中对角的角落上，两个方格被切掉了。给定31块多米诺骨牌，一块骨牌恰好可以覆盖两个方格。用这31块骨牌能否盖住整个棋盘？请证明你的答案（提供范例，或证明为什么不可能）。

解法

乍一看，似乎是可以盖住的。棋盘大小为8×8，共有64个方格，但其中两个方格已被切掉，因此只剩62个方格。31块骨牌应该刚好能盖住整个棋盘，对吧？

尝试用骨牌盖住第1行，而第1行只有7个方格，因此有一块骨牌必须铺至第2行。而用骨牌盖住第2行时，我们又必须将一块骨牌铺至第3行。

要盖住每一行，总有一块骨牌必须铺至下一行。无论尝试多少次、多少种方法，我们都无法成功铺下所有骨牌。

其实，还有更简洁更严谨的证明说明为什么不可能。棋盘原本有32个黑格和32个白格。将对角角落上的两个方格（相同颜色）切掉，棋盘只剩下30个同色的方格和32个另一种颜色的方格。为方便论证起见，我们假定棋盘上剩下30个黑格和32个白格。

放在棋盘上的每块骨牌必定会盖住一个白格和一个黑格。因此，31块骨牌正好盖住31个白格和31个黑格。然而，这个棋盘只有30个黑格和32个白格，所以，31块骨牌盖不住整个棋盘。

NO.3

　有两个水壶，容量分别为5夸脱（美制：1夸脱=0.946升，英制：1夸脱=1.136升）和3夸脱，若水的供应不限量（但没有量杯），怎么用这两个水壶得到刚好4夸脱的水？注意，这两个水壶呈不规则形状，无法精准地装满“半壶”水。

解法

根据题意，我们只能使用这两个水壶，不妨随意把玩一番，把水倒来倒去，可以得到如下顺序组合：

注意，许多智力题其实都隐含数学或计算机科学的背景，这个问题也不例外。只要这两个水壶的容量互质（即两个数没有共同的质因子），我们就能找出一种倒水的顺序组合，量出1到2个水壶容量总和（含）之间的任意水量。

NO.4

　有个岛上住着一群人，有一天来了个游客，定了一条奇怪的规矩：所有蓝眼睛的人都必须尽快离开这个岛。每晚8点会有一个航班离岛。每个人都看得见别人眼睛的颜色，但不知道自己的（别人也不可以告知）。此外，他们不知道岛上到底有多少人是蓝眼睛的，只知道至少有一个人的眼睛是蓝色的。所有蓝眼睛的人要花几天才能离开这个岛？

解法

下面将采用简单构造法。假定这个岛上一共有n人，其中c人有蓝眼睛。由题目可知，c > 0。

情况c = 1：只有一人是蓝眼睛的

假设岛上所有人都是聪明的，蓝眼睛的人四处观察之后，发现没有人是蓝眼睛的。但他知道至少有一人是蓝眼睛的，于是就能推导出自己一定是蓝眼睛的。因此，他会搭乘当晚的飞机离开。

情况c = 2：只有两人是蓝眼睛的

两个蓝眼睛的人看到对方，并不确定c是1还是2，但是由上一种情况，他们知道，如果c = 1，那个蓝眼睛的人第一晚就会离岛。因此，发现另一个蓝眼睛的人仍在岛上，他一定能推断出c = 2，也就意味着他自己也是蓝眼睛的。于是，两个蓝眼睛的人都会在第二晚离岛。

情况c > 2：一般情况

逐步提高c时，我们可以看出上述逻辑仍旧适用。如果c = 3，那么，这三个人会立即意识到有2到3人是蓝眼睛的。如果有两人是蓝眼睛的，那么这两人会在第二晚离岛。因此，如果过了第二晚另外两人还在岛上，每个蓝眼睛的人都能推断出c = 3，因此这三人都有蓝眼睛。他们会在第三晚离岛。

不论c为什么值，都可以套用这个模式。所以，如果有c人是蓝眼睛的，则所有蓝眼睛的人要用c晚才能离岛，且都在同一晚离开。

NO.5

　有栋建筑物高100层。若从第N层或更高的楼层扔下来，鸡蛋就会破掉。若从第N层以下的楼层扔下来则不会破掉。给你2个鸡蛋，请找出N，并要求最差情况下扔鸡蛋的次数为最少。（这样问会不会好 最少试验多少次可以找出鸡蛋不会被摔碎的最高楼层？）解法 我们发现，无论怎么扔鸡蛋1（Egg 1），鸡蛋2（Egg 2）都必须在“破掉那一层”和下一个不会破掉的最高楼层之间，逐层扔下楼（从最低的到最高的）。例如，若鸡蛋1从5层和10层楼扔下没破掉，但从15层扔下时破掉了，那么，在最差情况下，鸡蛋2必须尝试从11、12、13和14层扔下楼。具体做法 首先，让我们试着从10层开始扔鸡蛋，然后是20层，等等。 如果鸡蛋1第一次扔下楼（10层）就破掉了，那么，最多需要扔10次。 如果鸡蛋1最后一次扔下楼（100层）才破掉，那么，最多要扔19次（10、20、…、90、100层，然后是91到99层）。这么做也挺不错，但我们只考虑了绝对最差情况。我们应该进行“负载均衡”，让这两种情况下扔鸡蛋的次数更均匀。我们的目标是设计一种扔鸡蛋的方法，使得扔鸡蛋1时，不论是在第一次还是最后一次扔下楼才破掉，次数越稳定越好。(1) 完美负载均衡的方法应该是，扔鸡蛋1的次数加上扔鸡蛋2的次数，不论什么时候都一样，不管鸡蛋1是从哪层楼扔下时破掉的。(2) 若有这种扔法，每次鸡蛋1多扔一次，鸡蛋2就可以少扔一次。(3) 因此，每丢一次鸡蛋1，就应该减少鸡蛋2可能需要扔下楼的次数。例如，如果鸡蛋1先从20层往下扔（不破），然后从30层扔下楼（破），此时鸡蛋2可能就要扔9次（从21到29 一次次试）。若鸡蛋1再扔一次，我们必须让鸡蛋2扔下楼的次数降为8次。也就是说，我们必须让鸡蛋1从39层扔下楼。(4) 由此可知，鸡蛋1必须从X层开始往下扔，然后再往上增加X-1层……直至到达100层。(5) 求解方程式X + (X-1) + (X-2) + … + 1 = 100，得到X (X + 1) / 2 = 100 → X = 14。（直接设要X次，假如X 和X-1这两次了

则再加X-2 总共还是X次， 次数总为X）我们先从14层开始，然后是27层，接着是39层，依此类推，最差情况下鸡蛋要扔14次。正如解决其他许多最大化/最小化的问题一样，这类问题的关键在于“平衡最差情况”。

NO.6 　

走廊上有100个关上的储物柜。有个人先是将100个柜子全都打开。接着，每数两个柜子关上一个。然后，在第三轮时，再每隔两个就切换第三个柜子的开关状态（也就是将关上的柜子打开，将打开的关上）。照此规律反复操作100次，在第i轮，这个人会每数i个就切换第i个柜子的状态。当第100轮经过走廊时，只切换第100个柜子的开关状态，此时有几个柜子是开着的？解法 要解决这个问题，我们必须弄清楚所谓切换储物柜开关状态是什么意思。这有助于我们推断最终哪些柜子是开着的。1. 问题：柜子会在哪几轮切换状态（开或关）？柜子n会在n的每个因子（包括1和n本身）对应的那一轮切换状态。也就是说，柜子15会在第1、3、5和15轮开或关一次。（i=1开，3关，5开，15关。因子个数：偶数关，奇数开）2. 问题：柜子什么时候还是开着的？如果因子个数（记作x）为奇数，则这个柜子是开着的。你可以把一对因子比作开和关，若还剩一个因子，则柜子就是开着的。3. 问题：x什么时候为奇数？若n为完全平方数，则x的值为奇数。理由如下：将n的两个互补因子配对。例如，如n为36，则因子配对情况为：(1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6)。注意，(6, 6)其实只有一个因子，因此n的因子个数为奇数。4. 问题：有多少个完全平方数？一共有10个完全平方数，你可以数一数（1、4、9、16、25、36、49、64、81、100），或者，直接列出1到10的平方：11, 22, 33, …, 1010 因此，最后共有10个柜子是开着的。