动态规划<5>不同路径(unique-paths)

vlambda
2020-05-17

动态规划<5>不同路径(unique-paths)

本节为动态规划第五题：不同路径(unique-paths)，主要包括：问题描述，算法思路，复杂度分析，C++实现。

1. 问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

2. 解法

2.1 排列组合

动态规划<5>不同路径(unique-paths)

2.2 动态规划

记dp[i][j]是到达(i,j)这个位置的最多的不同路径，则有状态转移方程dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。由于第一行和第一列都是边界上，所以都为1。

//2.动态规划，时间复杂度O(m*n) //2.1 空间复杂度O(m*n) int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); //初始化： for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1; for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1; for (int i = 1; i < m; i++) for (int j = 1; j < n; j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; return dp[m-1][n-1]; } //2.2 空间复杂度O(n) int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> cur(n); for (int i = 0; i < n; i++) cur[i] = 1; for (int i = 1; i < m; i++) for (int j = 1; j < n; j++) cur[j] += cur[j - 1]; return cur[n-1]; }