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在CFA二级的原版书上其实早就有相关的内容。秉承着对于考生的认真负责的态度，认为还是很有必要把这部分内容进行一次梳理。闲话少叙，展开正题。

我们在CFA二级中学过利用二阶段的股票二叉树（注意：股票二叉树和利率二叉树的构建假设不太一样）对欧式和美式期权来进行估值。那么如果我们遇到标的资产在期权存续期内产生了现金流，比如：股票在期权存续期内发行了股利，那么对期权的价值产生什么影响？我们又如何进行估值呢？

为了便于解决问题，首先对期权、标的资产、二叉树等作出如下三个假设：

• 二叉树为两阶段，每一个阶段的间隔时间为一年；

• 期权的标的资产是某只股票，并且在一年后会发放股利；

• 二叉树上涨和下跌的概率均为0.5。

在以上两个假设基础上，通过一个具体的例子来介绍估值的整个流程。

• 考虑一个两年期的美式看涨期权，行权价格X=95；

• 其标的资产是一只股票，目前价格S₀=100；在一年后会支付股利Dividend=3；（注意：该笔股利是目前已知的，如果是未知股利，那么需要调整行权价。）

• 市场上的无风险利率r_f=1%

• 二叉树的上涨幅度u=1.224，下跌幅度d=0.796

求：该美式期权的价值

1. 股票二叉树构建如下：

2. 二叉树上股票价格的计算：如果该股票没有股利的情况下， S₊=S₀×u=100×1.224=122.4。但是由于在一年后会有3元的股利，那么一时间点的S₊和S_-都不能按照这样的方法直接计算了。有如下两种方法可供选择：

方法一：标的资产股票在第一年年末会有3元的股利，即Div₁=3，折现到0时刻：

Div₀= Div₁/(1+1%)=3/(1+1%)=2.970297；

在0时刻，未考虑股利的股票价格是100元。那么，在考虑了股利之后的价格为

S₀^’  =100- Div₀=100-2.970297=97.029703，

然后用S₊= S₀^’ × u=97.029703×1.224

               =118.7644；

方法二：直接用S₊=S₀×u=100×1.224=122.4，然后再减去3元的股利得出S₊。 

以上两种方法哪一种是正确的呢？

答案是方法一。原因很简单：这笔股利是在0时刻就已经是已知的，所以对股价产生了影响。因此就不能用方法二。

因此，我们就可以把二叉树上的股票价格计算出来。如下图所示：

折现到1时刻：

C₊ =(0.5×C₊₊＋0.5× C_+-)/(1＋1%)=24.9344

2) 如果提前行权，也就意味着可以拿到股利，同时用1时刻的股票价格作为计算期权价值的基础。即：

  C₊^’ = max[0, S₊-X] = 23.7644

  C_-^’ = max[0, S_--X] = 0

最重要的一步！由于在1时刻会有股利，因此，必须要把股利加上。即：

1时刻上方的call option价值总和=23.7644+3=26.7644；

1时刻下方由于不行权，所以价值总和依然是0。 

二叉树如下图所示：

到这里为止，我们已经把之前提到的两个最大的障碍扫除。接下来就是最简单的折现了。我们在提前行权和不提前行权中选取价值较高的。在这个例子中：提前行权产生的价值高于不提前行权。因此0时刻的看涨期权的价值为：

C₀ =(0.5×C₊＋0.5×C_-)/(1+1%)

     =(0.5×26.7644＋0)/(1+1%)

     =13.2497