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【基础回顾】

1.三角函数诱导公式

　　对于角(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

2. 同角三角函数间的关系
平方关系：sin²α＋cos²α＝1(α∈R)．
商数关系：

3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ；



4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=2sinαcosα；
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α；


【二级结论必备】

tanα±tanβ=tan(α±β)(1±tanαtanβ)；


1+sin2α=(sinα+cosα)²,1-sin2α=(sinα－cosα)²，

　　函数f(α)=acosα+bsinα(a，b为常数)，可以化为或，其中φ可由a，b的值唯一确定．

【技能方法】

1.利用三角函数定义化简、求值
　　利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
　　例1. 已知角α的终边上一点P(，m)(m≠0), 且，求cosα， tanα的值．
【解析】
　　由题设知x=，y＝m，
　　所以r²=|OP|²=(-)²＋m²(O为原点)，
　　所以
　　所以
　　即3+m²=8，解得m=±.
　　
　　
　　
　　
【点评】
用定义法求三角函数值的两种情况：
　　①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
　　②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．

2. 利用同角三角函数间的关系化简、求值
　　三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)²＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin²θ＋cos²θ＝cos²θ(1＋tan²θ)＝tan＝….
　　例2. 已知α是三角形的内角，且， 求sinα＋cosα的值．
【解析一】
　　
　　将其代入sin²α＋cos²α＝1，
　　得，所以，易知cosα＜0，
　　
　　
【解析二】
　　因为α是三角形的内角且
　　所以α为第二象限角，
　　
　　
【点评】
　　同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．

3. 利用诱导公式化简、求值
　　利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
　　例3.设 且1+2sinα≠0.则

　　

　　
【点评】
　　诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π的角的三角函数→锐角三角函数.诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．

4. 利用三角函数的性质化简、求值
　　对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成，最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向．
　　例4. 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）．　　　
　　　　
　　　　
【答案】B
【解析】
　　把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长得函数，则由根据选项检验可知φ的一个可能取值为. 故选B.
【点评】
　　本题主要考查函数图象的平移变换.注意把函数y=2sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位得到是错误的，应注意警惕．

5. 利用和差公式化简、求值
　　解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
　　例5. (2014•江苏高考)已知
　（1）求的值；
　（2）求的值．
【解析】
　（1）因为
　　
　　
　（2）由（1）知sin2α＝2sinαcosα＝
　　
　　
　　
【点评】
　　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

【基础达标】

1. 【2015 新课标I】sin20ºcos10º-cos160ºsin10º=(　　)
　　　　
　　　　　
【答案】D
【解析】
　　原式=sin20ºcos10º-cos160ºsin10º=sin30º=，故选D.

2.已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且，则x＝(　　)
　　　　　　
　　　　　
【答案】D
【解析】
　　依题意得，由此解得，选D.

3. 【2015 福建】若，且α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）
　　　　
　　　　
【答案】D
【解析】
　　由，且α为第四象限角，
则，则，故选D．

4.【2015 江苏】已知tanα=-2，tan(α+β)，则tanβ的值为_______.
【答案】3
【解析】
　　

5. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 015)的值为(　　)
　A．－1　　　　B．1
　C．3　　　　　D．－3
【答案】D
【解析】
因为f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，
所以f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)
　　＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
　　＝-asinα－bcosβ
　　＝-(asinα＋bcosβ)＝－3.
即f(2015)＝-3.
　　所以.故选D.

【能力提升】

1.【2015•辽宁五校联考】设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则的值为(　　)

　　　　
　　　　　
【答案】D
【解析】
　　由题意知，点M到x轴的距离是，
　　根据题意可设，又由题图知，所以ω＝π，
　　

2.【2015•东北三校第二次联考】已知，则＝(　　)
　　　　　
　　　　　
【答案】B
【解析】
因为sinα＋cosα＝，
所以(sinα＋cosα)²＝1＋2sinαcosα＝，
所以sin2α＝，
所以

3.【2015 湖南】将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x₁)-g(x₂)|=2的x₁，x₂，有 ，则φ=（　　）
　　　　
　　　　　
【答案】D
【解析】
　　向右平移φ个单位后，得到g(x)=sin(2x-2φ)，
　　又因为|f(x₁)-g(x₂)|=2，
　　所以不妨
　　所以又因为 ，
　　所以，故选D.

4.已知，且，则cos(α－β)的值为________．
【解析】
　　
　　
　　又，α＋β∈(0，π)，所以
　　所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
　　＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
　　

5. 【2015•新疆阿勒泰二模】已知α为第二象限角，
则＝________.
【答案】0
【解析】
　　
　　　　
　　因为α是第二象限角，所以sinα＞0, cosα＜0，
　　所以，即原式等于0.

【终极突破】

1.【2015 重庆】若，则（　　）
　A.1　　　　B.2
　C.3　　　　D.4
【答案】C
【解析】
　　
　　
　　
 ，选C.

2．【2015•赣州模拟】已知，则的值为(　　)
　　　　　
　　　　
【答案】A
【解析】
　　由条件得
　　
　　所以

3.【2015•兰州检测】在斜三角形ABC中，sinA＝－cos B•cos C，且tan B•tan C＝1－2，则角A的值为(　　)
　　　　
　　　　
【答案】A
【解析】
　　由题意知，sinA＝－cosB•cosC＝sin(B＋C)
　　　＝sinB•cosC＋cosB•sinC，
　　在等式－cosB•cosC＝sinB•cosC＋cosB•sinC两边同除以cosB•cosC得tanB＋tanC＝－，
　　又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，
　　所以

4.【2015•广东中山一模】已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈ ，则cos(α－β)的值等于(　　)
　　　　
　　　　
【答案】D
【解析】
　　因为，所以2α∈(0，π)．
　　因为，所以
　　所以
　　而，所以α＋β∈(0，π)，
　　所以
　　所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
　　

5.【2015 广东】已知tanα=2．
　（1）求的值；
　（2）求的值．
【解析】