濡圣投资 | 多阶二叉树模型1
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为了让一阶二叉树模型更符合实际，我们把一阶段分成多个阶段，即二阶、三阶，甚至 100 阶等，然后查看 Delta 对冲在多阶模型中是否同样有效。
先来看二阶二叉树模型。二阶二叉树模型由开始、中间、到期三个时点组成。 这里假定利率为 10%。在各个时点上，矩形的上半部分为标的资产的价格，下半部 分为认购期权的价格，如图所示。
与前面的案例不同，到期时标的资产的价格不再是两种情形而是三种情形。二叉树模型的阶段越多到期时标的资产价格可能的情形也会越多。本模型的阶段每增加一个，标的资产价格变化的幅度就会发生改变。假设上涨和下跌的幅度一律为 1000。多阶二叉树模型应该如何上手？我们可以采用数学归纳法求解多阶二叉树模型。所不同的是，我们不知道初值，反而知道终值（期权到期价格）。另外，利用一阶模型中所用的方法也可知道各阶段和其前一阶段的关系。因此，依靠数学归纳法可以求出认购期权价格。
图：二阶二叉树模型
在图中，该认购期权的行权价为 5000 元，因此到期时期权价值在标的资产价格为 7000 元、5000 元、3000 元时分别为 2000 元、0、0。在这里关注到期价格变为 7000 元和 5000 元的情形，及其前一时点（6000，C1）。仔细观察该情形可以发现， 该问题和求解初始价格为 6000 元、行权价为 5000 元的认购期权一阶二叉树模型的求解方法相同，即与一阶二叉树模型中求期权合理价格时的结构相同，只是数字稍有变化。重复之前在一阶二叉树模型的方法可以求出 C1，同样的方法也可以求出 C2，再利用 C1、C2，最终求出开始阶段认购期权的合理价格 C。（待续）