编程熊讲解力扣算法《二叉树》
大家好，我是编程熊。
往期我们一起学习了LeetCode算法《线性表》相关知识。
本期我们一起学习二叉树，二叉树的问题，大多以递归为基础，根据题目的要求，在递归过程中记录关键信息，进而解决问题。
如果还未学习递归的同学，编程熊后面会讲解递归，建议学习递归后再来做二叉树相关题目，但并不影响学习二叉树基础知识部分。
本文将从以下几个方面展开，学习完可以解决面试常见的二叉树问题。
二叉树概述和定义
顾名思义，二叉树的每个节点最多有两个子节点，下图展示了常见的二叉树。
二叉树的定义方式
二叉树是由许多节点组成，节点有数据域、指针域，节点之间通过指针链接，形成一棵树。
二叉树节点的定义方式(C++代码):
struct TreeNode {
// 节点数据
int val;
// 指向左儿子的指针
TreeNode *left;
// 指向右儿子的指针
TreeNode *right;
// 构造函数
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
二叉树存储方式
二叉树常见的存储方式有:
-
链式存储: 链表的思想，通过指针链接。 -
数组存储: 数组的下标也是一个索引，可以定位到节点，数组存储的数据即为节点数据。
下图是链式存储的示意图。
下图是数组存储的示意图。
二叉树分类
二叉树根据节点的分布位置、节点数值的排列方式，分为以下几种。
-
满二叉树 -
完全二叉树 -
平衡二叉树 -
二叉搜索树
下面，我将从分别讨论以上几种二叉树特点。
满二叉树
满二叉树的特点有:
-
除最后一层无子节点外，其余每层的节点都有两个子节点。
下图是一个满二叉树。
完全二叉树
完全二叉树的特点有:
-
至多只有最后一层没有被填充满，其余每层都被填充满。 -
如果最后一层没有填充满，那么所有的节点都在最后一层左边的位置上。
下图演示了一个完全二叉树。
平衡二叉树
平衡二叉树的特点有:
-
空树 或 左右两个子树的高度差 的绝对值不超过1。 -
左右两个子树都是一个平衡二叉树。
下图演示了一个平衡二叉树。
二叉搜索树
二叉搜索树的特点有:
-
若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。 -
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
下图演示了一个二叉搜索树。
二叉树遍历方式
二叉树遍历方式根据遍历节点的先后顺序，分为以下几种。
-
前序遍历 -
中序遍历 -
后序遍历
前序遍历
前序遍历节点的顺序是：根、左、右。
下面是前序遍历的伪代码。
// 伪代码
// root left right
// 遍历根
dfs(root);
// 遍历左节点
dfs(left);
// 遍历右节点
dfs(right);
中序遍历
中序遍历节点的顺序是：左、根、右。
下面是中序遍历的伪代码。
// 伪代码
// 顺序: left root right
// 遍历左节点
dfs(left);
// 遍历根
dfs(root);
// 遍历右节点
dfs(right);
后序遍历
后序遍历节点的顺序是：左、右、根。
下面是后序遍历的伪代码。
// 伪代码
// 顺序: left right root
// 遍历左节点
dfs(left);
// 遍历右节点
dfs(right);
// 遍历根
dfs(root);
举例分析
下图以一棵树，分别演示了前序、中序、后续遍历的结果。
例题
LeetCode 104. 二叉树的最大深度
题意
给定一个二叉树，找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
示例
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，
3
/ \
9 20
/ \
15 7
题解
从根节点递归遍历每个节点，同时记录每个节点的深度。
每个点的深度等于父节点深度+1，根节点的深度设为1。
下图为求二叉树的最大深度的示意图。
代码
class Solution {
public:
int maxDepth(TreeNode* root) {
if (root == nullptr)
return 0;
return 1 + max(maxDepth(root->left), maxDepth(root->right));
}
};
LeetCode 110. 平衡二叉树
题意
给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。
示例
输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：true
题解
递归记录每个节点左右子树的高度差，平衡二叉树定义: 左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。若超过则不是平衡二叉树。
代码
class Solution {
public:
bool isBalanced(TreeNode* root) {
return dfs(root) >= 0;
}
int dfs(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) {
return 0;
}
// 记录左子树的高度
int left_height = dfs(root->left);
// 记录右子树的高度
int right_height = dfs(root->right);
// 根据左右子树深度，判断是否满足平衡二叉树条件
if (abs(left_height - right_height) > 1 || left_height == -1 || right_height == -1) {
return -1;
}
// 返回当前节点的子树的最大深度
return 1 + max(left_height, right_height);
}
};
LeetCode 144. 二叉树的前序遍历
题意
给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。
示例
输入：root = [1,null,2,3]
输出：[1,2,3]
题解
根据前序遍历定义的遍历顺序，即根、左、右的顺序遍历二叉树。
代码
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode *root) {
vector<int> ans;
dfs(root, ans);
return ans;
}
void dfs(TreeNode *root, vector<int> &ans) {
if (root == nullptr) {
return;
}
ans.push_back(root->val);
dfs(root->left, ans);
dfs(root->right, ans);
}
};
LeetCode 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树
题意
给定一棵树的前序遍历 preorder 与中序遍历 inorder。请构造二叉树并返回其根节点。
示例
Input: preorder = [3,9,20,15,7], inorder = [9,3,15,20,7]
Output: [3,9,20,null,null,15,7]
题解
前序遍历的顺序是: 根、左、右。因此前序遍历数组的第一个节点就是根，因此前序序列可以快速定位根。
中序遍历的顺序是: 左、根、右。根据前序序列找到根，可以将左子树和右子树 分割 开，同时可以知道左子树的节点数量和右子树的节点数量。
下图是思路示意图。
因此我们可以利用前序遍历快速定位根，再利用中序遍历将左子树和右子树 分割 开，并知道左右子树的节点数量。
代码实现上，可以通过递归不断的划分左右子树，左右子树分别返回其根节点，就是根节点的左儿子、右儿子，细节可以看下面代码，很容易理解。
代码
// 代码来源于下面链接, 根据自己偏好, 进行了修改。
// https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/solution/cong-qian-xu-yu-zhong-xu-bian-li-xu-lie-gou-zao-9/
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
};
class Solution {
public:
unordered_map<int, int> index;
TreeNode* myBuildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder, int preorder_left, int preorder_right, int inorder_left, int inorder_right) {
if (preorder_left > preorder_right) {
return nullptr;
}
// 前序遍历中的第一个节点就是根节点
int preorder_root = preorder_left;
// 在中序遍历中定位根节点
int inorder_root = index[preorder[preorder_root]];
// 先把根节点建立出来
TreeNode* root = new TreeNode(preorder[preorder_root]);
// 得到左子树中的节点数目
int size_left_subtree = inorder_root - inorder_left;
// 递归地构造左子树，并连接到根节点
// 先序遍历中「从 左边界+1 开始的 size_left_subtree」个元素就对应了中序遍历中「从 左边界 开始到 根节点定位-1」的元素
root->left = myBuildTree(preorder, inorder, preorder_left + 1, preorder_left + size_left_subtree, inorder_left, inorder_root - 1);
// 递归地构造右子树，并连接到根节点
// 先序遍历中「从 左边界+1+左子树节点数目 开始到 右边界」的元素就对应了中序遍历中「从 根节点定位+1 到 右边界」的元素
root->right = myBuildTree(preorder, inorder, preorder_left + size_left_subtree + 1, preorder_right, inorder_root + 1, inorder_right);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
int size = preorder.size();
// 构造哈希映射，快速定位中序遍历的根节点
for (int i = 0; i <= size - 1; ++i) {
index[inorder[i]] = i;
}
return myBuildTree(preorder, inorder, 0, size - 1, 0, size - 1);
}
};
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伙伴们，七夕快乐，无论是一个人，还是两个人，都要好好生活。
我是编程熊，我们下期见。
编程熊
字节跳动、旷视科技前员工、ACM亚洲区域赛金牌，ACM金牌选手讲解LeetCode算法系列作者
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