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2、背包问题——阿里巴巴与四十大盗

问题：有一天，阿里巴巴赶着一头毛驴上山砍柴。砍好柴准备下山时，远处突然出现一股烟尘，弥漫着直向上空非扬，朝他这儿卷过来，而且越来越近。靠近以后，他才看清原来是一支马队，他们公有四十人，一个个年轻力壮、行动敏捷。一个首领模样的人背负沉重的鞍袋，从丛林中一支来打那个大石头跟前，喃喃地说到：“芝麻、开门吧！”，随着那个头目的喊声，大石头前突然出现一道宽阔的门路，于是强盗们鱼贯而入。阿里巴巴待在树上观察他们，直到他们走的无影无踪之后，才从树上下来。他大声喊道：“芝麻、开门吧！”，他的喊声刚落，洞门立刻打开了，他小心翼翼地走了进去，一下子惊呆了，洞中堆满了财务，还有多的无法计数的金银财宝，有的散堆在地上，有的盛在皮袋中。突然看见这么多的金银财宝，阿里巴巴深信这肯定是一个强盗们数代经营、掠夺所积累起来的宝窟。为了让乡亲们开开眼界，见识一下这些宝物，他想一种宝物只拿一个，如果太重就用锤子凿开，但毛驴的运载能力是有限的，怎么才能用驴子运走最大价值的财宝分给穷人呢？

2.1问题分析

假设山洞中有n种宝物，每种宝物有一定重量w和相应的价值v，毛驴运载能力有限，只能运走m重量的宝物，一种宝物只能拿一样，宝物可以分割。那么怎么才能使毛驴运走宝物的价值最大呢？

（1）每次挑选价值最大的宝物装入背包，得到的结果是否最优？

（2）每次挑选重量最小的宝物装入背包，能否得到最优解？

（3）每次选择单位重量价值最大的宝物，能否使价值最高？

如果选择价值最大的宝物，但重量非常大，也是不行的，因为运载能力是有限的，所以舍弃策略（1）；如果选重量小的物品装入，那么其价值不一定高，所以不能再总重限制的情况下保证价值最大，所以舍弃策略（2）；而第三种是每次选择单位重量价值最大的宝物，也就是说每次选择性价比（价值/重量）最高的宝物，如果可以达到运载重量m，那么一定能使得价值最大。

因此采用策略（3），每次从剩下的宝物中选择性价比最高的宝物。

2.2算法设计

（1）数据结构及初始化

将n种宝物的重量、价值和性价比存储结构体three（包含重量、价值、性价比3个成员）中，将其按照性价比从高到低排序。采用sum来存储毛驴能够运走的最大价值，初始化为0；

（2）贪心策略

按照性价比从大到小选取宝物，直到达到毛驴的运载能力。每次选择性价比高的物品，判断是否小于m（毛驴运载能力），如果小于m，则放入，sum（已放入物品的价值）加上当前宝物的价值，m减去放入宝物的重量；如果不小于m，则取该宝物的一部分m*p[i]，m=0时，程序结束。m减少到0，则sum得到最大值。

2.3图解算法

假设有一批宝物，价值和重量如下表所示，其中毛驴运载能力m=30

（1）按照性价比（价值/重量）降序排序，如下表所示：

（2）按照贪心策略，每次选择性价比高的宝物放入：

第1次选择宝物2，剩余容量30-2=28，目前装入最大价值为8；

第2次选择宝物10，剩余容量28-5=23，目前装入最大价值为8+15=23；

第3次选择宝物6，剩余容量23-8=15，目前装入最大价值为23+20=43；

第4次选择宝物3，剩余容量15-9=6，目前装入最大价值为43+18=61；

第5次选择宝物5，剩余容量6-5=1，目前装入最大价值为61+8=69；

第6次选择宝物8，剩余容量1<4，装入1，目前装入最大价值为69+(6/4)*1=70.5；

（3）构造最优解

把这些让如的宝物序号组合在一起，就得到了最优解（2,10,6,3,5,8），其中最后一个宝物为部分装入（装入1单位），能够装入宝物的最大价值为70.5

2.4伪代码详解

（1）数据结构定义

根据算法设计中的数据结构，首先定义一个结构体three：

struct three { double w;  //每种宝物的重量 double v;  //每种宝物的价值 double p;  //每种宝物的性价比（价值/重量）}

（2）性价比排序

可以利用C++中的排序函数sort，对宝物的性价比进行从小到大（非递减）排序。要使用此函数需引入头文件：

#include <algorithm>sort(begin, end)  //参数begin和end表示一个范围，分别为待排序数组的首地址和尾地址//sort 函数默认为升序

在本例中采用结构体形式存储，按结构体中的一个字段，即性价比排序。如果不适用自定义比较函数，那么sort函数排序时不知道按哪一项的值排序，因此采用自定义比较函数的办法实现宝物性价比的降序排序：

（3）贪心算法求解

在性价比排序的基础上，进行贪心算法运算。如果剩余容量比当前宝物的重量大，则可以放入，剩余容量减去当前宝物的重量，已放入物品的价值加上当前宝物的价值。如果剩余容量比当前宝物的重量小，表示不可以全部放入，可以切割下来一部分（正好是剩余容量），然后令剩余容量乘以当前物品的单位重量价值，已放入物品的价值加上该价值，即为能放入宝物的最大价值。

for(int i=0; i<n; i++)  //按照排好的顺序，执行贪心策略{  if( m > s[i].w)  //如果宝物的重量小于毛驴的运载能力，即剩余容量  {    m -= s[i].w;    sum += s[i].v;  }  else  //如果宝物的总量大于毛驴的承载能力  {    //进行宝物切割，切割一部分（m重量），正好达到毛驴称重    sum += m * s[i].p;      break;  }}