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上节介绍了Bootstrap方法的基本原理，本节介绍如何使用Bootstrap 方法构造置信区间。对于未知参数 ，其点估计量为 。现要求参数 的置信区间。

Bootstrap-t置信区间

对于置信区间构造，最常用的方法是枢轴量方法。现考虑统计量

这里 是统计量 的方差的估计。

可看作是近似的枢轴量。令 表示其分布函数，而 表示其 分位数。如果 已知，则 的 置信区间为：

如上节所指，很多时候统计量的精确分布或者渐近分布难以获取，此时考虑 的Bootstrap近似。实际上，经过 次Bootstrap抽样，可以得到 个 的Bootstrap复制，即

从而 近似为

的样本分位数即可作为 分位数的近似。

具体地，将 的 个Bootstrap复制自小到大进行排序，即

则 和 可近似为 和 。这里 。

因此，Bootstrap-t置信区间定义为

百分位置信区间

假设经过Bootstrap抽样，得到了 个 的Bootstrap复制，即 。将它们从小到大排序，得：

Bootstrap百分位置信区间定义为

简要证明

假设存在单调变换 ，使得 要求 。这里并不要求 是正态分布，也不要求明确知道变换 的具体形式。若 和 已知，则可得 的 置信区间：

实际中 和 形式可能均是未知的，百分位置信区间方法表明可以用Bootstrap复制的样本分位数对上述置信端点进行近似。

具体地，令，则有

第一个等式中 是在Bootstrap抽样下计算概率。由于 是样本分位点，故第一个等式成立。最后一个等式成立则由于Bootstrap抽样得到的分布是真实分布的近似。

因此。由此得到：

在上述证明中，假定 的单调变换的分布对称。这一假定通常在渐近意义下成立。一个典型的例子是样本皮尔逊相关系数的Fisher z变换，变换后的分布渐近对称。

上述两种方法的优缺点

百分位置信区间非常易于操作。只要取Bootstrap复制的经验分位点即可。而Bootstrap-t置信区间相对复杂一些。对于参数 的估计 ，要求能够明确其方差的形式且能够利用数据估计 。一般来讲，后者精度相对高些。

对于Bootstrap-t置信区间，若 恒取为常数1，则Bootstrap-t置信区间退化为

这也被称为枢轴量置信区间或者Hybrid-Bootstrap置信区间。

使用Bootstrap方法对皮尔逊相关系数构造置信区间

在之前的文章中，我们介绍过如何使用中心极限定理和Fisher z变换对皮尔逊相关系数构造置信区间。但在二元t(5)分布下，这两种方法的覆盖概率都不是很高。现在考虑Bootstrap百分位置信区间。结果如下：

从此表容易看出，Bootstrap方法的经验覆盖概率更加接近预设的95%。

Matlab代码如下：

function [leng cv]=corrboot(n,rho) re=400;for i=1:1000 i sigma=rho*ones(2)+(1-rho)*eye(2); xy=mvtrnd(sigma,5,n);  for l=1:re temp=unidrnd(n,1,n); xy_star=xy(temp(1:n),:); xstar=xy_star(:,1); ystar=xy_star(:,2); rhostar(l)=corr(xstar,ystar,'type','pearson'); end rhostar=sort(rhostar); lowb=rhostar(0.025*re); uppb=rhostar(0.975*re);  Lengs(i)=uppb-lowb; cvpro(i)=(rho>=lowb)&(rho<=uppb); end leng=[mean(Lengs)], cv=[mean(cvpro)],