二叉树模型：如何找到公平的期权价格？
学会第一模块之后，你已经知道了定价对于金融工具的使用来说特别得重要。在第一模块的后两讲里，我们通过学习期货和远期是如何定价的，知道了如何利用定价模型来套利或者进行投机。
这两讲我们一直在讲期权，期权又要如何定价呢？在1970年以前的芝加哥衍生品交易所，就是因为大家不能够统一看涨期权和看跌期权的公平价格，所以导致交易往往要花很长时间才能进行成交。那么如何找到期权公平的交易价格呢？这一讲我们就来解决这个问题。
在说这个问题之前，我要给你打一个预防针，期权的定价模型要比上一个单元的期货定价模型复杂一些。确实不是特别好懂，但是我还是鼓励你试一下，因为一旦你理解了这两讲，你会对风险管理的理解上一个新的大的台阶，你的精神就升华了，这种进步只有你理解了之后才能体会到。
好，这一讲我们要讲的定价模型叫二叉树模型。别看它的名字很可爱，但是它特别强大。
1. 什么是二叉树模型？
其实期权定价的模型有很多，下一堂课我们还会介绍非常有名的Black Scholes Merton Model，也就是BSM Model。和这些模型相比，二叉树模型非常简单，设定也非常灵活，没有特别复杂的条件。
但是你别看它简单，它计算的精确度其实是非常高的，在现实中的应用也非常广泛。这个二叉树模型不光能给欧式期权定价，甚至还能够用到美式期权上。对于底层资产出现的现金流、支付的复杂情况，二叉树模型都能够解决。所以遇到复杂的期权定价问题的时候，大家往往就会求助于二叉树模型。
打了这么多广告，我们就来看一下二叉树模型的前世和今生。
大家想的第一个问题可能是，什么是二叉树模型呢？为什么有这么一个奇怪的名字呢？
所谓的二叉，就是在每一个节点有两个可能的选择，它的整个结构像一棵树，所以叫做二叉树模型。在统计上严格地说，这种随机变量的分布叫做二项分布。英文的名字叫做binomial，就是有两种可能性。
二项分布在几百年以前就被发明了，据说当时有一位数学家去一座山上，找他的朋友吃晚饭。然后他在山上绕来绕去就迷路了，他每到一个路口的时候就在想，我这是往左拐呢，还是往右拐呢？久而久之，他从这里得到了灵感，就创造了二叉树模型。就是说每一个节点有两种可能性，往左往右，向上向下，这其实是一个很好用的分布。往后的学者就把这种分布叫做二项分布，或者叫做二叉树模型。
二叉树模型跟我们金融又有什么关系呢？你可以想一想股票是不是也服从二项分布呢？今天比如说收盘以后我要想明天的股票价格是什么呢？它可能会上升，也可能会下降，还有可能当然是不变。
我们一般会把大于等于归为一种可能性，把小于归成另外一种可能性。所以，股票明天的走势就只有两种可能性，也就是股票市场当中的股票价格，其实也是可以服从二叉树模型的。
二叉树模型虽然简单，但它覆盖的可能性是非常多的。因为每一步只有两个可能性，但是你有无穷多的步数，或者说你的步数趋向于无穷大的时候，你的可能性是不断扩大的。在无穷大的极限，二叉树模型的分布其实是趋从于正态分布的。
2. 如何用二叉树给期权定价？
那么这个二叉树模型如何应用到期权定价上呢？我们来看一个例子，下面可能稍稍要用一点脑力，你要看仔细一点。
假设今天的股票价格是60块钱，用二叉树模型的话，股票价格服从二项分布，我们股票价格可以往上走，走到90块钱，或者往下走会跌到30块钱，也就是两种可能性。这就是股票的二叉树分布。
假设你现在有个欧式看涨期权，它的行权价格是正好60块钱，到期日是一个月以后。那么一个月以后，股票价格假设从60块涨到了90块，你就应该行权。行权以后，你用60块钱买了一个90块钱的股票，你挣了30块。
另外一个可能性就是一个月以后，股票跌到了30块钱，在这种情况下股票价格低于行权价格，你是不会行权的，看涨期权的价格在一个月以后就变成了零。所以你看，如果股票价格服从二叉树分布的话，看涨期权的价格只有两种可能性，一个是往上走的30块，一个是往下走的就是零。
到了这个时候你就可以想，今天我买看涨期权一个月之后，它的收益可能是30，也可能是零，那么今天来说，这个看涨期权它合适的价格是什么呢？
根据前面讲过的内容我们知道，一个合适的期权价格就意味着这里面套利空间为零，也就意味着期权的价格应该是这个期权能给我带来多少预期收益。所以如果我能知道这个期权预期收益是多少，我也就知道了这个期权应该拥有的公平价格是多少。
期权的收益是什么？上一讲我们讲过，它的收益取决于底层资产的价格和行权价格的差值，但是我们现在算不出来这个差值对不对？我们不知道今天它那个差值值多少钱对不对？怎么办呢？
好，我们来颠覆一下你的思维。聪明的经济学家就想到了，我们能不能复制一个看涨期权呢？这里所说的复制，在金融学里的意思就是使用其他的资产来构建一个投资的组合，使得这个投资组合的收益和看涨期权是一模一样的。
我们要怎么复制呢？我们首先从期权的收益结构出发，之前介绍过，看涨期权的收益是Max（0， S-K），也就是说期权的价格等于底层资产的价格减去行权价，与零相比的最大值。因为这个收益有两部分，一部分跟底层资产有关，另外一个部分跟常数项行权价有关。在这个复制组合里面，肯定要有一部分跟底层资产价格相对应的，那么另外一部分要跟行权价格相对应，这样就行了。
所以我们的复制组合里面包括了两个部分，第一个部分用的是底层资产，第二个部分是要考虑到行权价是确定的常数，所以我们用无风险的资产来对应。这样的话，我们就构建了这个复制组合或者叫做人工看涨期权。因为咱们复制成功的话，人工的看涨期权价格会跟真实的看涨期权价格一模一样。
好，现在人工的看涨期权分为两部分，一部分是持有的底层资产股票，多少股呢？这个数量用这个小三角形来表示，小三角形叫做delta；另外一部分是投资于无风险资产的金额，因为可能是借钱，用这个L来表示，英语里面是说leverage，这就是借钱的意思。
我的目标是什么呢？通过调整这两个资产的数量和权重，人工期权的收益和市场上看涨期权在股票上涨和下跌时的情况要完全一致。
好，在无套利条件下，人工的期权和市场上的期权价格是一模一样的，所以，我会得到两个等式。首先，我们考虑股票上涨到90块的情况，我的底层资产价值就是90乘上三角形delta，加上一段时间后无风险资产的利息和本金，这个结果就应该对应着人工组合的总价值，也就是市场上看涨期权的收益，行权后等于30块，我们得到了图中的第一个等式。
第二种情况，股票跌到30块，人工组合的总价值等于30乘上delta股票数量，加上无风险资产里面的投资，得出来的价值也就是市场上看涨期权的收益不行权，价格应该等于零。所以我们得到了上图的第二个等式。
你看这是一个二元一次方程组，我们小学五年级的时候就学过了。delta等于0.5，L等于负的15，经济学含义其实也非常非常的简单，delta是你买了多少股，对不对？0.5就是你复制一股看涨期权要买0.5个股票，L就是你放了多少钱在无风险资产里面，如果你算出来的数等于负的15，意思就是说你借了15块钱。
如果你这么配置投资组合，不管是股票价格上升还是下降，这个人工组合的收益和市场上看涨期权是一致的，因为我们有那个二元一次方程组。
回到我们一开始问的问题，人工期权的价格现在是多少呢？我们要买半只股票，现在买半只股票就是0.5乘以现在的价格60块，就是30块，减掉这个L，常数项15，所以今天的看跌期权价格就是30减15等于15块。
整个流程走下来，我们先假设了股票价格服从二叉树分布，然后我们构建了一个投资组合。这个投资组合里面包括了底层资产、无风险资产，然后这个组合能够完美地复制看涨期权，将来不管在股票价格上升还是下降的情况下，它们的价格都一模一样。
如果是这样的话，根据无套利的原理，我们就可以推出市场上交易的看涨期权，价格一定跟人工复制的看涨期权一模一样。我们算出来人工复制的看涨期权价格是15块钱，那么市场上交易的看涨期权的公平价格就一定是15块钱。
我们再重复一下，倒回来看一下经济学的含义，这个三角形delta等于0.5，也就是说构建一个看涨期权需要半股底层资产。投资到无风险资产的数量是负数，是说你要从银行借钱。如果说你投资到无风险资产的数量是一个正数的话，那就反过来，就是你把钱存入银行。整体看起来，构建这个人工看涨期权，总成本是15块，看涨期权的价格就是15块。
我们同样可以把这个推算用在看跌期权里面，同样的二叉树模型，你有两个等式，两个未知数。
大家看一下这个PPT就可以算出来当股票价格上升到90的时候，看跌期权的价格等于零。看跌期权当股票跌到30块钱的时候，看跌期权的价格等于30，如果我们把这个二元一次方程组重新建立的话，我们可以算出来delta在看跌期权里面就等于-0.5，L就是你借的钱，等于45。
意思就是说你如果想人工复制一个盘跌期权的话，这个delta是负的0.5，对不对？你不是买股票，你是要卖空底层资产的。也就是说人工复制的看跌期权虽然股票价格上升，但收益是下降的。L是正的，也就是说你把钱借给了银行，借了多少呢？L等于45，也就是45块。你把它们俩放在一起，看跌期权的价格就是30乘上负0.5加上45等于15块。
大家会发现，只要确定股票价格明天涨多少或者跌多少，你就能够很容易算出来今天的看涨期权和看跌期权的价格。
当然，我还要提醒一下，这个涨幅和跌幅可不是我随便假设出来的。这个怎么涨怎么跌，之前我们提到二叉树模型在极限的情况下是一个正态分布，而正态分布是一个非常美丽、精美、简单的模型，只需要均值和波动率就能够决定。所以我们这儿挑选的价格的涨幅和跌幅，其实这两个参数能让二叉树模型完全拟合底层资产收益率的历史均值和波动率。
3. 风险中性折现
听到这儿你肯定觉得算起来有点麻烦，要解两个等式，还要找价格的涨幅和跌幅。有没有更简单的办法呢？
聪明的数学家和金融学家又找出来一条近道，可以更容易地一步搞定，这个更简便的方法叫做风险中性折现。这里面包含了两个概念，第一个叫做风险中性，第二个叫做折现。
风险中性这个有点难，我就慢慢讲。
风险中性是什么意思呢？风险中性是说对于一种资产，你只在乎它将来给你带来多少钱，就是它预期的收益率，你根本不在乎它的风险波动率有多大。
为什么要介绍这个概念呢？这个概念是在衍生品定价的市场里面经常用到的。原理是什么？原理是说人们一般都是趋利避害的，大家都喜欢高收益、低风险的产品，但是在衍生品的世界里面，假设所有的产品都一样，预期收益率都是无风险的利率。
这个假设听起来好像很奇怪，为什么要做这个假设呢？因为衍生品的定价其实是不受个人的风险偏好来决定的，衍生品是在底层资产上面衍生出来的产品，人们对于风险的偏好已经完全地包含在底层资产的价格里面了，所以衍生品本身并不会产生更多的风险。你用风险中性得出来的价格和你用风险偏好，你偏风险或者不喜欢风险得出来的价格是一模一样的，所以大家就说那我还不如简单一点，直接用无风险利率来做还更容易做一些。
第二个概念，折现。就是把你将来的现金流折现到今天，要有一个折现的利率。我刚才说过，在风险中性下，折现的利率其实是无风险利率，所以你把将来的现金流都折现到今天，用无风险利率去算就好了。
我们现在来看看无风险利率到底能不能给我们一个正确的看涨或者看跌期权的价格。还是那个例子，一个看涨期权，今天它的股票价格是60块，行权价格也是60块，这个股票将来可能会上涨到90块钱或者下跌到30块钱，假设无风险利率是零。
我们第一步要做什么呢？就是要算一下在风险中性的情况下，往上涨的可能性到底是多大呢？有的人可能会说是不是50%？不是这样的，我给你一个简单的公式，这个往上涨的概率等于利率减去下跌的幅度，然后除以上升幅度和下跌幅度之间的差。
在咱们这个例子里面，我们假设无风险利率是零，对不对？总的利率就是e的零次方，就是1。然后减掉下跌幅度是0.5，为什么是0.5呢？因为下跌的时候是30块钱，除以60，那就变成了下跌幅度0.5。上升的幅度为啥是1.5呢？因为上升的话，价格升到了90块钱，除以60，它就变成了1.5。
我们把这三个数，复合利率是1，上升幅度1.5，下跌幅度是0.5，放在一起放进公式里面，风险中性。在这个风险中性，上涨概率算出来就是0.5。
我们拿到这个概率以后，要对将来的现金流进行折现。当股票涨到90块钱的时候，看涨期权是30块钱的收益，当股票跌到30块钱的话，看涨期权的收益是0，但是看涨往上涨的概率，我们之前算到的是50%，所以折现的价值怎么算？就是你上涨收益是30，概率是0.5，所以30×0.5，那么你下跌收益是0，概率也是50%，也就是0×0.5，这是将来的预期收益率。但是你要把它折现到今天，所以你还要把这个利率加上负号，把它折现回来。我们这里面就用了e的负零次方，算出来是1。所以这个等式放在一起，就是15加上0再乘以1等于15。
你看，这是不是一个神奇的数字？跟咱们之前用人工复制的看涨期权价格一模一样？所以这里，我也就证明了你用风险中性来进行折现这个算法，跟那个人工复制算法得出的答案是一模一样的，但是更简单，更直接。
好，人工复制期权和风险中性折现是两个完全对等的算法，大家不用担心风险中性，你就把它当成一个怎么算期权价格简单的捷径，因为数学家们已经把这后面所有的证明都做好了，它们俩得出来的价格就是一模一样的。
4. 为什么说二叉树模型更灵活？
刚才我们介绍了二叉树模型的大概算法，前面我们也强调了二叉树模型很灵活，它到底灵活在什么地方呢？
我们刚才讲的是二叉树的一期模型，你很容易就可以把它变成两期模型，看一看这张表你就可以看得见，两期模型就是说有两个选择节点，就是说在第一节点上面有两个可能性，上涨和下跌。在上涨的情况下，你又分出来两个可能性，在下跌的时候，你又分出来两个可能性，所以两期模型就有四个可能的节点，就像种树一样，这个分杈越来越多。
到了三期模型的时候，你就有八个可能的节点。因为第一期两个节点，第二期是二的平方，第三期节点是二的三次方，你就可以自动繁殖。如果你想要把它变得特别复杂的话，你就让它无穷无尽地往下涨就好了。往下涨的意义在于，在每一步你都能算出当下的期权价格，你可以利用二叉树模型无限期地算下去，所以二叉树模型可以纳入多期的不确定性，非常灵活。
第二点，二叉树模型还可以做美式期权。为什么呢？因为你到每一步的时候，都可以停下来想一想你到底是行权还是不行权。如果你行权，能赚多少钱。如果你不行权，把它卖了，可以赚多少钱。在这种情况下，你每一步都知道自己是否行权，而美式期权正是允许持有人每一步都可以进行决策。在二叉树模型里，每一步你都算出来是否行权，到最后你往前折现折现折现，你就可以算出美式期权今天的价格。
第三点，二叉树模型还可以进行红利计算。因为在每一步里，你都可以把发红利的情况也加入这个模型，计算的方式和前面是一样的，我就不重复了，聪明的你应该可以举一反三，感兴趣的同学可以自己试一试。
说到这里，关于二叉树模型我们就基本上介绍得差不多了。利用二叉树模型，我们就能够知道合理的期权价格应该是多少，我们的收益又会是多少，进而帮我们做下一步的决策。
在这一讲的开头，我们还提到了一种定价模型，叫做BSM模型，下一讲我们就来讲这个模型。这两讲的内容稍微有点需要想象力，有点烧脑，请你坚持一下，你会有特别大的收获。
最后，再留一个思考题，如果用二叉树模型给股指期权定价，你会怎么做？欢迎留言跟我交流，
划重点
二叉树模型是一个很强大的定价模型，它不仅灵活，而且还可以为美式期权定价，也可以进行红利计算。