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我们在做资产定价时经常使用到二叉树模型。二叉树模型假设金融资产   在经过每个单位时间   后的变动只有两种可能的取值：上涨至   或下跌至   ，然后在下一个   里，在新价格的基础上继续变动相同的幅度。

二叉树模型（两步）

经过若干个   后，资产价格像树枝一样不断分叉，最终形成若干个可能的取值。

二叉树模型（多步）

例如我在上一篇图文《》中将Hull-White模型以三叉树模型表示，令利率在每个时间间隔   下的变动只有三种取值：   、   、   。

三叉树模型（一步）

然后经过若干个节点的互相连接，最终构成利率树形。

三叉树模型（多步）

许多同学对二叉树模型无法理解：在我们的认知中，资产价格的变动有快有慢，我们却直接将其简化为二种取值，用这种简陋的模型真的能模拟真实金融市场的价格变动吗？难道不会带来巨大的误差吗？此时如果我对你说，资产收益应该服从的是正态分布（normal distribution），你是否会觉得“对对对，这才合情合理”，并且觉得二叉树模型就是垃圾？

其实，二叉树模型，刻画的正是服从正态分布的随机变量在一个极小的时间段内的变动，正态分布的假设与二叉树并不矛盾。如何理解这句话？ 我们得从高尔顿钉板（Galton board）讲起。

噢对不起走错片场了，是下面这个人：

大家从高中开始学习正态分布的时候，一定都见过高尔顿钉板：一个装置，让小球从上方落下，经过遍布许多钉子的钉板，钉子不断地改变着小球的运动轨迹，最终每颗小球会落到底部的凹槽中，许许多多的小球最终会形成一个钟形曲线。

我们可以想象，当小球的数量无穷多、凹槽和钉板无穷密时，小球就能积累出正态分布概率密度函数的形状。

高中老师讲到这里就结束了，但是大家有没有注意到一个细节：上面的钉子是怎么排列的？

直接告诉你答案：在钉板上的每一层钉子，都必须与上下两层钉子错开，而不可以是上下对齐的。

这样的排列，其实是为了一个目的——让小球每往下掉一层，都会落在下面的钉子上，从而对往左还是右做一次选择。

小球经过几层钉子，就代表小球做了几次选择，最后落在哪个凹槽中取决于小球一共做了几次向左的选择和几次向右的选择。

如果小球选了3次向右，1次向左，那么小球就会落在右边第1格中。

4层高尔顿钉板

从高尔顿板实验的结果可以看出，小球一次次地做出向左还是向右的选择，最终的落点是服从正态分布的。

从数学角度解释，就是无穷次伯努利实验（Bernoulli experiment）的结果服从正态分布。钉子的排列方式，就是为了在物理上实现让小球做伯努利实验的目的。

说回到金融资产，既然我们能理解金融资产的收益服从的是正态分布，又何尝不能把它想象成是一次次涨跌选择的结果？

我们来做个类比：

金融资产在二叉树的每个节点上只能选择上涨或下跌一个变动单位，相当于高尔顿板上的一颗落到了钉子上的小球，只能选择向左或向右移动一个槽位。

金融资产经过若干个二叉树节点后的变动结果，就相当于小球经过了若干层钉子后的落点位置。小球的落点能服从正态分布，金融资产的收益自然也在宏观上构成了人们能看到的正态分布形态。

不够直观？我们做一个极端一点的想象：

想象一下在一个期货品种上使用二叉树模型。期货交易所每500毫秒提供一次行情切片，而我们设二叉树中的每个节点的时间步长   为一个普朗克时间（   秒）。于是在500毫秒这个谁都不知道发生了什么的黑箱里，资产价格做了   个涨跌选择，最终在500毫秒过后，才给了市场一个确定的报价，而这个报价相较前一个报价的变动率是服从正态分布的。

这就是为什么资产价格的变动可以用二叉树、三叉树模型来刻画，因为它本质是在把服从正态分布的资产收益进行微分化+离散化，它与我们直观上感受到的“资产价格变动应有幅度大小之分”的直觉其实并无矛盾之处。如果你觉得涨跌幅度被树杈形态所限制，可以试着打开你的脑洞——   的时间间隔不一定是你能观察得到的时间间隔，它可以短到没有人反应得过来，等你反应过来时间的流逝时，资产收益早已经形成了一个正态分布。

我是陈冉，一个量化交易小学生。

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