东哥手把手帮你刷通二叉树|第二期
学算法认准 labuladong
东哥带你手把手撕力扣😏
读完本文，你能去力扣解决如下题目：
654.最大二叉树（难度 Medium）
105.从前序与中序遍历序列构造二叉树（难度 Medium）
106.从中序与后序遍历序列构造二叉树（难度 Medium）
上篇文章 连刷了三道二叉树题目，很多读者直呼内行。其实二叉树相关的算法真的不难，本文再来三道，手把手带你看看树的算法到底怎么做。
先来复习一下，我们说过写树的算法，关键思路如下：
把题目的要求细化，搞清楚根节点应该做什么，然后剩下的事情抛给前/中/后序的遍历框架就行了，我们千万不要跳进递归的细节里，你的脑袋才能压几个栈呀。
也许你还不太理解这句话，我们下面来看例子。
构造最大二叉树
先来道简单的，这是力扣第 654 题，题目如下：
函数签名如下：
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums);
按照我们刚才说的，先明确根节点做什么？对于构造二叉树的问题，根节点要做的就是把想办法把自己构造出来。
我们肯定要遍历数组把找到最大值maxVal，把根节点root做出来，然后对maxVal左边的数组和右边的数组进行递归调用，作为root的左右子树。
按照题目给出的例子，输入的数组为[3,2,1,6,0,5]，对于整棵树的根节点来说，其实在做这件事：
TreeNode constructMaximumBinaryTree([3,2,1,6,0,5]) {
// 找到数组中的最大值
TreeNode root = new TreeNode(6);
// 递归调用构造左右子树
root.left = constructMaximumBinaryTree([3,2,1]);
root.right = constructMaximumBinaryTree([0,5]);
return root;
}
再详细一点，就是如下伪码：
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
if (nums is empty) return null;
// 找到数组中的最大值
int maxVal = Integer.MIN_VALUE;
int index = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] > maxVal) {
maxVal = nums[i];
index = i;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
// 递归调用构造左右子树
root.left = constructMaximumBinaryTree(nums[0..index-1]);
root.right = constructMaximumBinaryTree(nums[index+1..nums.length-1]);
return root;
}
看懂了吗？对于每个根节点，只需要找到当前nums中的最大值和对应的索引，然后递归调用左右数组构造左右子树即可。
明确了思路，我们可以重新写一个辅助函数build，来控制nums的索引：
/* 主函数 */
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
return build(nums, 0, nums.length - 1);
}
/* 将 nums[lo..hi] 构造成符合条件的树，返回根节点 */
TreeNode build(int[] nums, int lo, int hi) {
// base case
if (lo > hi) {
return null;
}
// 找到数组中的最大值和对应的索引
int index = -1, maxVal = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
if (maxVal < nums[i]) {
index = i;
maxVal = nums[i];
}
}
TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
// 递归调用构造左右子树
root.left = build(nums, lo, index - 1);
root.right = build(nums, index + 1, hi);
return root;
}
至此，这道题就做完了，还是挺简单的对吧，下面看两道更困难一些的。
通过前序和中序遍历结果构造二叉树
经典问题了，面试/笔试中常考，力扣第 105 题就是这个问题：
函数签名如下：
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder);
废话不多说，直接来想思路，首先思考，根节点应该做什么。
类似上一题，我们肯定要想办法确定根节点的值，把根节点做出来，然后递归构造左右子树即可。
我们先来回顾一下，前序遍历和中序遍历的结果有什么特点？
void traverse(TreeNode root) {
// 前序遍历
preorder.add(root.val);
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
// 中序遍历
inorder.add(root.val);
traverse(root.right);
}
前文 写过，这样的遍历顺序差异，导致了preorder和inorder数组中的元素分布有如下特点：
找到根节点是很简单的，前序遍历的第一个值preorder[0]就是根节点的值，关键在于如何通过根节点的值，将preorder和postorder数组划分成两半，构造根节点的左右子树？
换句话说，对于以下代码中的?部分应该填入什么：
/* 主函数 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return build(preorder, 0, preorder.length - 1,
inorder, 0, inorder.length - 1);
}
/*
若前序遍历数组为 preorder[preStart..preEnd]，
后续遍历数组为 postorder[postStart..postEnd]，
构造二叉树，返回该二叉树的根节点
*/
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
// root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
return root;
}
对于代码中的rootVal和index变量，就是下图这种情况：
现在我们来看图做填空题，下面这几个问号处应该填什么：
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
对于左右子树对应的inorder数组的起始索引和终止索引比较容易确定：
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, index + 1, inEnd);
对于preorder数组呢？如何确定左右数组对应的起始索引和终止索引？
这个可以通过左子树的节点数推导出来，假设左子树的节点数为leftSize，那么preorder数组上的索引情况是这样的：
看着这个图就可以把preorder对应的索引写进去了：
int leftSize = index - inStart;
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
至此，整个算法思路就完成了，我们再补一补 base case 即可写出解法代码：
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
if (preStart > preEnd) {
return null;
}
// root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
int leftSize = index - inStart;
// 先构造出当前根节点
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
return root;
}
我们的主函数只要调用build函数即可，你看着函数这么多参数，解法这么多代码，似乎比我们上面讲的那道题难很多，让人望而生畏，实际上呢，这些参数无非就是控制数组起止位置的，画个图就能解决了。
通过后序和中序遍历结果构造二叉树
类似上一题，这次我们利用后序和中序遍历的结果数组来还原二叉树，这是力扣第 106 题：
函数签名如下：
TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder);
类似的，看下后序和中序遍历的特点：
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
traverse(root.right);
// 前序遍历
postorder.add(root.val);
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
// 中序遍历
inorder.add(root.val);
traverse(root.right);
}
这样的遍历顺序差异，导致了preorder和inorder数组中的元素分布有如下特点：
这道题和上一题的关键区别是，后序遍历和前序遍历相反，根节点对应的值为postorder的最后一个元素。
整体的算法框架和上一题非常类似，我们依然写一个辅助函数build：
TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
return build(inorder, 0, inorder.length - 1,
postorder, 0, postorder.length - 1);
}
TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
int[] postorder, int postStart, int postEnd) {
// root 节点对应的值就是后序遍历数组的最后一个元素
int rootVal = postorder[postEnd];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
return root;
}
现在postoder和inorder对应的状态如下：
我们可以按照上图将问号处的索引正确填入：
int leftSize = index - inStart;
root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);
root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);
综上，可以写出完整的解法代码：
TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
int[] postorder, int postStart, int postEnd) {
if (inStart > inEnd) {
return null;
}
// root 节点对应的值就是后序遍历数组的最后一个元素
int rootVal = postorder[postEnd];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
// 左子树的节点个数
int leftSize = index - inStart;
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);
root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);
return root;
}
有了前一题的铺垫，这道题很快就解决了，无非就是rootVal变成了最后一个元素，再改改递归函数的参数而已，只要明白二叉树的特性，也不难写出来。
最后呼应下前文，做二叉树的问题，关键是把题目的要求细化，搞清楚根节点应该做什么，然后剩下的事情抛给前/中/后序的遍历框架就行了。
现在你是否明白其中的玄妙了呢？
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学好算法全靠套路，认准 labuladong，知乎、B站账号同名。