【宏观】动态规划框架下的企业活动
宏观经济学对于企业的研究一般会放在动态规划框架下。传统的企业活动框架无外乎是最大化每一期的利润：
其中Π是利润，A是生产率，F是生产函数，k和n分别是资本量和劳动力，w和r分别是标准化后的工资和资本租金/利率。
但是，如果仅仅用这一条方程来概括所有企业活动未免也太简单了点。如果只研究生产者，那么模型其实可以更细化一点。放掉传统模型里面的一些不实际的假设，来更详细地分析企业活动。
以下企业活动的分析框架，Kiyotaki，Cao，Lorenzoni，Walentin等宏观经济学家均研究过。这个框架跟传统模型的不同在于：
1）企业持有资本，并且资本会折旧。每一期的利润将会分成两部分：一部分拿来投资，另外一部分变成现金流作为利润增加企业价值。而投资部分则是为了增加企业的资本，从而增加未来的企业价值。
2）企业在投资的过程中会面临投资损耗，并且投资损耗随着投资额度增加而增加，随着资本存量增加而减少。
3）跟消费者模型不同的是，企业作为规划主体，一般是风险中性的。
4）融资方面，企业有两种选择，一种是债务（b），另一种是股权（s）。企业价值是当期股权价值+当期债务价值+当期现金流。债券只有一期，下一期的债券在下一期重新借贷（这是作者认为模型不现实的地方）。
5）企业最大化贴现自由现金流（FCF）。
6）没有税务，自然也就没有税盾。债务不会拖欠。这一点也不符合实际，不过一般分析税务的模型都是一般均衡模型，而不是单方面模型。
总的来说，分析框架跟金融学里面的公司金融学框架是比较一致的。当然了这个框架研究的是企业整体，而不会研究类似于决策者的委托-代理问题，而对于企业的风险中性假设则使得模型研究不了企业的行为金融学。当然了，这个分析框架也揭示了企业决策者长期以来存在的决策问题，也就是债权和股权利益冲突的问题。
债权在一个企业里面是属于比较特殊的一方。其中一个原因是股权持有者的有限责任制以及任命决策层的权利，另外一个原因是企业派息前，甚至在算现金流之前就必须支付息票等因素，还有一个原因是税盾，债务越多，可抵扣的税款就越多。因此在金融学里面，企业目标的定义是股权价值的最大化。但是，在这个框架内，如果企业的目标是贴现自由现金流的最大化，那么企业的目标就不是股权价值最大化。
接下来对分析框架进行建模。首先定义自由现金流X：
p是投资的价格，G是投资损耗函数，i是投资。可以看出，自由现金流的定义和上方利润的定义不一样，不同的地方在于对于资本的支出。在传统框架下，对于资本的支出为资本的租金，但是在这个框架下，因为企业持有资本，所以每一期的支出为投资。以上这个定义也符合公司金融学对于现金流的定义。
因为企业持有资本，所以每一期，资本的存量服从：
其中λ是（1-折旧率）。这个公式跟以往消费者的存款公式不一样之处在于当期投资可以直接增加当期资本，并且可以立马投入生产环节。而λk有一个别名，叫做重置成本。
接下来看整个现金流表的式子，上面已经给出了自由现金流的公式，那么只需要在自由现金流公式加上融资活动现金流即可得到整个现金流的公式。企业可以通过两个方面融资：债务和股权权益。
其中d是股息，p是不同融资手段的价格。在这里假设每一期的净增加额都是0，这是因为，如果企业有多余的现金，这些现金将会根据不同的派息政策处理掉。首先是把现金拿来投资，如果投资回报率非常低，那么剩余的现金可以拿来偿还债务，最后剩余的现金将会派给股息，或者是股权回购，最后剩余的现金则会被增加的股价消化掉。
债务的价格与其说是价格，不如说是回报率，也就是，如果明天获得一块钱，今天需要给多少钱。跟消费者模型不同的是，这里的贴现率不是主观贴现率，而是随机贴现因子，相当于企业的贴现率。而随机贴现因子是基于消费者方面的，贴现边际效用的比率，但是这个模型并没有消费者，所以模型用随机贴现因子来表达贴现率。
因为债务是无风险的，所以根据欧拉方程：
其中m是随机贴现因子。而股市是有风险的，而价格就是股价。并且，根据无套利原则和欧拉方程，回报率乘以随机贴现因子的期望值等于1。
欧拉方程的详细介绍请参考往期：
接下来来定义企业的价值V，根据资产负债表，企业价值等于股权价值+债务：
债务只有价值没有价格。股权价值相当于上一期股本乘以除权前的股票价格。
如果把价值代入现金流公式里面，那么：
上述对于公司价值的定义描述了企业用上一期资产衡量的价值，而这个式子代表着企业用当期资产衡量的价值，相当于自由现金流+当期新增债务价值+当期股权价值。把价格代入：
不难发现，大括号里面相当于下一期企业的价值：
把递归式写成当期规划式则：
一个企业的价值有两个成分，第一个是贴现现金流，第二个是企业价值泡沫。如果横截面条件（TC）成立的话，那么企业就没有资产泡沫。
上面这个式子揭示了两个重要发现。第一个是Modigliani-Miller定理：公司价值不会根据杠杆变化而变化。在这里，杠杆可以理解成为债务和股权价值的分配。这是因为模型假设了无套利原则，那么一个企业不同的融资方式的期望回报率是一样的。作者认为，如果税盾存在，理论上资产价格应该进行相应的变化（股权回报率减少，债权回报率上升）来限制企业的杠杆过高的情况发生。
第二个发现就是，如果一个企业的目标是贴现自由现金流最大化，那么这个企业就必须把债权方的价值也要考虑进企业决策里面。除非一个企业完全没有债务，否则只考虑股权持有者的利益而不考虑债权持有者的利益实际上是违背了企业价值最大化的原则。但是，很多研究发现，因为有限责任制，决策层往往只会考虑股权持有者的利益。不过，这个发现有可能是因为有限责任制相当于一个借贷限制，而在以上模型中，企业没有借贷限制，并且所有的债务都一定会在下一期偿还。
总的来说，企业的无限期规划模型可以写成：
其中s是波动状态，这个在收入波动问题里面解释过，不同状态，企业采取的决策不一样。那么企业决策的条件（包括包络定理条件）是：
这里公式有点多，逐条分析。第一条公式是劳动力的一阶条件，劳动力只是一个当期问题，因为大部分的宏观经济学假设短期内劳动力是可以变动的（除了劳动力模型外）。第二条公式是边际资本生产率的定义，分为两部分，一部分是生产函数的边际产出，另外一部分是每增加一单位资本对损耗的边际影响。因为上面的假设，k越大所以G越小，所以即使边际产出偏低，企业还是会继续持有资本，为了减少投资带来的损失。
第三行的Q称为重置资本的边际价值，在金融学里面叫做ROIC（投入资本回报率）。而投资最大化的条件在于，投资的边际回报等于边际损耗。而边际损耗则是等号的右手边。
第四行是对于下期资产的一阶条件。当期的资本回报率分为当期资本边际产出和贴现下期资本回报率。这是因为资本是存量，是无限期持有的，企业在任何一起的投入都可以让以后每一期都有边际产出。当然了，以后的边际产出肯定要比现在要少，因为资本有折旧。这个一阶条件是递归形式，所以第五行把递归式写成当期规划式，主要意思就是说，资本回报率相当于无限期贴现资本边际产出。这是一个非常完美的结论。第六行是没有企业资本泡沫时的边际产出条件。
策略迭代可以用来解模型。这个模型可以分析生产率变化或者说一些其他的变化，对于企业决策的影响。如果把税赋加入模型里面，模型甚至可以研究企业税对于投资决策的影响。
不过这篇文章接下来将会分析投资回报率。上面的Q(m)是边际重置资本回报率，而接下来引入的另外一个概念，叫平均重置资本回报率Q(a)：
如果模型假设F和G都是一阶齐次函数，并且横截面条件成立，那么：
证明略。不过理解很容易，在没有资产泡沫的情况下，如果边际资本回报率高于平均，那么企业应该加大投资，而如果低于，那么企业应该减少投资。
而金融学，经济学里面常用的分析资本回报率的托宾Q（Q(Tobin)）则是平均重置资本回报率除以投资价格。投资价格相当于如果要增加一个单位的资本所需要的标准化后的价格。那么托宾Q的分母相当于重置资本的成本。
这个模型还有一个发现，那就是如果模型假设投资损耗，那么托宾Q足以测量企业的投资占资本的比率，相当于标准化后的投资额。也就是说托宾Q能反映市场的繁荣程度。Bond et al. (2000) 通过对G的假设得出这个结论。假设损耗是二次函数
其中a，b是参数，ε是扰动项。不难发现上面的G是一阶齐次函数。而边际投资损耗为：
根据一阶条件，边际回报率越大，那么边际损耗越大，那么相当于投资占资本的比率也就越大：
如果有投资损耗，那么只有当投资回报率高的时候企业才有更多的投资。这个答案也符合直觉。不过，在研究中，投资回报率不显著。对于此，不同的经济学家有不同的解释。首先，Bond et al. (2000)除了使用托宾Q之外，他们还是用了另外一个跟托宾Q类似的指标，不过是通过自由现金流来估值的。另外一种解释是市场波动非常大，并且存在泡沫，横截面条件不一定成立。还有一部分经济学家发现，现金流更能够解释投资占资本存量比。这代表着企业经常面临这借贷限制。而Cao et al. (2019)则建立了一个借贷限制模型，并且如果企业面临借贷限制，则该企业将面临破产，而所有企业在下一期都有可能破产，而破产的可能改变了企业的决策。不过，也有经济学家表明，现金流只有在没有Q的模型里才会显著，并且即使没有借贷限制，现金流也能解释投资。
总的来说，这个模型是一个研究企业行为的一个框架。而通过这个框架，经济学家们可以深入研究企业的宏观决策。
参考资料：
Bond, S.R., Cummins, J.G., Eberly, J. and Shiller, R.J., 2000. The stock market and investment in the new economy: Some tangible facts and intangible fictions. Brookings Papers on Economic Activity, 2000(1), pp.61-124.
Cao, D., Lorenzoni, G. and Walentin, K., 2019. Financial frictions, investment, and Tobin’sq. Journal of Monetary Economics, 103, pp.105-122.
Kiyotaki, N. and Moore, J., 2019. Firm Investment, EC451/EC417 Macroeconomics. London School of Economics