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任何时间序列都可以表示为在 谐波 频率上振荡的余弦和正弦波之和= j / n，其中j = 1,2，...，n / 2。周期图给出了关于各种频率的相对强度的信息，用于解释时间序列的变化。

周期图是称为谱密度 函数的样本估计，其是群体平稳时间序列的频域表征。谱密度是与自协方差时域表示直接相关的时间序列的频域表示。本质上，谱密度和自协方差函数包含相同的信息，但以不同的方式表达。

估计光谱密度的方法

原始周期图是人口谱密度的粗略样本估计。估计是“粗略的”，部分是因为我们只使用离散的基波谐波频率用于周期图，而频谱密度是在连续的频率上定义的。

平滑方法（光谱密度的非参数估计）

在R中，可以使用命令kernel 生成m = 2 的Daniell内核的加权系数。  结果是

coef [-2] = 0.2 coef [-1] = 0.2 coef [0] = 0.2 coef [1] = 0.2 coef [2] = 0.2

coef []的下标是指与时间t的平均值中心的时差。 

在R中，命令 （“daniell”，c（2,2））将提供系数，这些系数将作为权重应用于对两个平滑中m = 2 的回旋Daniell内核的原始数据值求平均值。结果是

 coef [-4] = 0.04 coef [-3] = 0.08 coef [-2] = 0.12 coef [-1] = 0.16 coef [0] = 0.20 coef [ 1] = 0.16 coef [2] = 0.12 coef [3] = 0.08 coef [4] = 0.04

这会生成平滑公式

^ x t=0.04xt-4+0.08xt-3+0.12xt-2+0.16xt-1+0.20xt+0.16xt+1+0.12xt+2+0.08xt+3+0.04xt+4。x^t=0.04xt−4+0.08xt−3+0.12xt−2+0.16xt−1+0.20xt+0.16xt+1+0.12xt+2+0.08xt+3+0.04xt+4.

 命令 （“modified.daniell”，c（2,2）） 给出了这些系数：

coef [-4] = 0.01563 coef [-3] = 0.06250 coef [-2] = 0.12500 coef [-1] = 0.18750 coef [0] = 0.21875 coef [1] = 0.18750 coef [2] = 0.12500 coef [3] = 0.06250 coef [4] = 0.01563

当我们平滑周期图时，我们在频率间隔而不是时间间隔上进行平滑。 

带宽

带宽应该足以平滑我们的估计，但是如果我们使用太大的带宽，我们将过多地平滑周期图并且错过看到重要的峰值。在实践中，通常需要一些实验来找到提供合适平滑的带宽。

R代码

使用Daniell内核对周期图进行平均/平滑可以使用两个命令的序列在R中完成。第一个定义了Daniell内核，第二个定义了平滑周期图。

例如，假设观察到的序列被命名为x，我们希望使用具有m = 4的Daniell内核来平滑周期图。命令是

 mvspec（x，k，log =“no”）

第一个命令创建平滑所需的加权系数，并将它们存储在名为k的向量中。 第二个命令要求基于系列x的周期图的谱密度估计，使用存储在k中的加权系数，该图将是普通的比例，不是对数刻度。

如果需要卷积，则可以将内核命令修改为类似k = kernel（“daniell”，c（4,4）） 。

 例如，m = 4 的修改后的Daniell内核长度L = 2 m +1 = 9，因此我们可以使用该命令

mvspec（x，spans = 9，log =“no”）

可以使用每次通过m = 4 的修改的Daniell内核的两次通过

mvspec（x，spans = c（9,9），log =“no”）

可以使用命令创建原始周期图（或者可以使用第6课中给出的方法创建原始周期图）。

mvspec（x，log =“no”）

请注意，在刚刚给出的命令中，我们省略了为平滑提供权重的参数。

原始周期图如下：

下一个图是使用具有m = 4 的Daniell核的平滑周期图。

下一个图是一个平滑的周期图，使用Daniell内核的两次传递，每次传递m = 4。请注意它是如何比以前更平滑。

要了解两个主要峰的位置，请为mvspec输出指定一个名称，然后列出它。例如，

specvalues = mvspec（x，k，log =“no”）
specvalues $ spec

您可以筛选输出以查找峰值出现的频率。频率和频谱密度估计单独列出，但顺序相同。确定最大光谱密度，然后找到相应的频率。

这里，第一个峰值的频率≈0208。与此周期相关的周期（月数）= 1 / .0208 = 48个月。第二个峰值出现在频率≈0.083333。相关时期= 1 / .08333 = 12个月。第一个峰值与厄尔尼诺天气效应有关。第二个是通常12个月的季节性影响。

abline（v = 1/44，lty =“dotted”）abline（v = 1/12，lty =“dotted”）

这是结果图：

我们已经足够平滑，但出于演示目的，下一个情节是结果

mvspec（x，spans = c（13,13），log =“no”）

这使用两次修改的Daniell内核，每次长度L = 13（所以m = 6）。 

绝对有可能过度平滑。假设我们使用总长度= 73（m = 36）的修改过的Daniell内核。命令是

mvspec（x，spans = 73，log =“no”）

结果如下。高峰消失 

光谱密度的参数估计

谱密度估计的平滑方法称为非参数方法，因为它不使用任何参数模型用于基础时间序列过程。另一种方法是参数方法，该方法需要找到该系列的最佳拟合AR模型，然后绘制该模型的谱密度。 

在R中，使用命令/功能spec.ar可以轻松完成谱密度的参数估计。 

估计的谱密度的出现与以前相同。估计的厄尔尼诺峰位于略微不同的位置 - 频率约为0.024，周期约为1 / 0.024 =约42个月。

平滑器在原始数据中的应用

请注意，此处描述的平滑器也可以应用于原始数据。Daniell内核及其修改只是移动平均（或加权移动平均）平滑器。

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