树型结构介绍

  树形结构就像一颗倒着的树，根朝上，叶子朝下。树有一个唯一的根节点，可以分发出很多个分支，每个分支也可以继续分发分支。

树形结构的基本概念

  树是n(n≧0)个结点的有限集。n=0时称为空树，n>0是非空树。在任意一颗非空树中：有且仅有一个特定的称为根的结点。

  对于非空树来说，只有一个根节点，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、T3……、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

>>树相关的术语<<

结点分类：

• 结点：包含 数据元素和 若干个指向子树的分支。
• 子结点：一个结点 含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
• 叶子结点或终端结点： 度为0的结点。K，L，F，G，H，M，J都是叶子结点。
• 分支结点或非终端结点： 度不为0的结点。除根节点外，分支结点也称为 内部结点。
• 结点的度：结点 拥有子树数。A的度为3，C的度为1，H的度为0。
• 树的度：树内各个结点 度的最大值。上图树的度为3。

结点关系：

• 双亲结点或父节点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。B是F的双亲。

• 兄弟结点：同一个双亲/父节点的子节点之间互称为兄弟结点。E，F，G互为兄弟。

• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。上图F为第三层。

• 树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。上图树的深度为4。

• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。E和F，G，H，I，J互为堂兄弟。

• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。K的祖先是E，B，A。

• 结点的子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙，E，F，G，K，L。

其他：

• 路径：树中 两个结点之间所经过的结点序列。K到A之间的路径为K-E-B-A。
• 路径长度： 两个结点之间路径上经过的边数。K到A的路径长度为3。树中任意两个结点之间的路径都是唯一的。
• 森林：由 m(m>=0)棵不相交的树组成的集合。
• 有序树：结点的 各个子树从左至右有序，不能互换位置。
• 无序数：结点 各个子树可互换位置。

树的存储结构

顺序存储：

• 双亲表示法。
• 孩子表示法。
• 双亲孩子表示法。

链式存储：

• 孩子链表表示法。
• 孩子兄弟表示法。

二叉树概念

  二叉树(Binary Tree)是由n(n>=0)个结点构成的有限集合，该集合可能为空树(空二叉树)，或者由一个根节点和两颗互不相交的左子树和右子树的二叉树组成。

  左子树和右子树是有序的，不可以互换。二叉树中不存在度大于2的结点。

二叉树的形态

>>二叉树的五种形态<<

>>三个结点二叉树的五种形态<<

特殊的二叉树

>>满二叉树<<

  如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，也就是说二叉树的每一层的结点都充满了，我们称之为满二叉树。

>>完全二叉树<<

  除了最后一层，其他层都是充满的，也就是说所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

二叉树的性质

  性质1：在二叉树的第i层上最多有 个结点。

  第一层：1个结点，第二层：2个结点，第三层：4个结点……

  性质2：深度为k的二叉树最多有 个结点。

  假设每一层都满层，则深度为k的二叉树结点数最多为 。

  性质3：对任意二叉树，若叶子数为 ，度为2的结点数为 ，那么 。

  假设二叉树的总结点为 ，叶子结点个数为 个，度为1的结点个数为 个，度为2的结点个数为$n_2

。

  暂时把树干叫做分支，因为叶子结点的分支为0，度为1的结点的分支为1，度为2的结点的分支为2，且二叉树的总结点数量为 ，为什么减1呢，因为根节点没有树干。

  结合这两个式子就可得出结论了。

  性质4：针对完全二叉树：具有n个结点的完全二叉树的深度k满足 ，k为整数。

  假设完全二叉树的深度为k，完全二叉树的倒数第二层一定是满的。

  最少结点的情况，最后一层只有一个结点，且在最左边，总结点个数为 。

  最多结点的情况，最后一层也是满的，总结点个数为 。

  所以 ，因为n是整数，则所以 ，取对数则得到结论。

  性质5：针对完全二叉树：假如从上至下，从左至右编号，则编号为 的结点，其左子节点的编号是 ，其右子节点编号为 ，其父节点的编号为 。

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假如一棵完全二叉树有1001个元素，那么叶子结点有多少个？

1001/2 = 500，最后一个拥有子结点的结点的编号为500，那么叶子结点有1001-500=501个。

二叉树存储方式

  二叉树的存储方式分为顺序存储和链式存储。

>>顺序存储<<

  假如是完全二叉树，我们就可以拿数组来表示这棵树。

  假如是普通的二叉树，我们可以把缺少的位置用0来弥补。但是普通二叉树可能需要补很多0的位置，浪费空间。

>>链式存储<<

  链式存储有两种，

• 一个数据域，两个指向左右子结点的指针。
• 一个数据域，两个指向左右子节点的指针，和一个指向父节点的指针。